Катастрофы в природе и обществе

Хлебопрос Р. Г.

откуда

В отличие от Q₁, величины S₁ и П₁ различны для разных долин, так как природные условия в них неодинаковы (для удобства исследования мы можем так выбрать размеры участков, именуемых "долинами", чтобы сделать равной их производительность, но природные условия от нас не зависят!). Точно так же, для энергетической продукции долины имеем

,

где Q₂, как мы предположим, одна и та же для всех долин, а S₂ и П₂

различны. Заметим, что если, как это было сделано выше, размеры участков выбраны таким образом, чтобы у них была одинаковая сельскохозяйственная полезность Q₁, то отсюда, конечно, не следует, что их энергетическая полезность Q₂ тоже будет одинакова. Поэтому сделанные выше предположения заведомо относятся к частному случаю интересующей нас задачи. Общий случай также поддается решению – аналогичным методом – но мы ограничиваемся частным случаем для упрощения математического аппарата. На наших рисунках долины характеризуются точками с координатами П₁, П₂, то есть их "удельными полезностями" для обоих видов продукции.

Рассмотрим теперь простую сделку – обмен двух долин: предположим, что из первой долины работавшие там крестьяне переходят во вторую, где работали строители, а те переходят в первую долину. Поскольку, как мы предположили, производительность всех долин по каждому виду продукции одна и та же, такой обмен не противоречит наложенному выше условию полного обеспечения рынка. Для первой долины сохраним прежние обозначения трудовых затрат S₁ и удельной полезности П₁, а для второй (теперь используемой крестьянами) обозначим трудовые затраты через S₁', а удельную полезность через П₁'. Тогда приращение трудовых затрат на сельскохозяйственную продукцию в результате обмена равно S₁' – S₁, причем, в соответствии с математическим способом выражения, "приращение" может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, возрастает S₁ или убывает. Приращение некоторой величины обозначается знаком : S читается как "приращение S". Поскольку мы имели для первой долины S₁ = Q₁/П₁, а для второй аналогично S₁' = Q₁/П₁' (Q во всех долинах одно и то же!), получаем

Точно так же, для строителей, переходящих из второй долины в первую, приращение трудовых затрат на производство энергии равно

Очевидно, обмен возможен лишь в том случае, если он выгоден обеим сторонам (напомним, что допускаются лишь добровольные сделки!). Можно указать два случая, когда обмен будет обоюдно выгоден и потому будет в самом деле происходить. Первый случай – когда обмен снижает трудовые затраты обеих сторон, то есть когда оба приращения S₁, S₂ отрицательны. Второй случай – когда одно из этих приращений положительно, а другое отрицательно, так что выигрывает от обмена лишь одна сторона: пусть выигрывают, например, крестьяне, а гидростроители проигрывают, то есть S₁ < 0, но S₂ > 0. Казалось бы, гидростроители никогда не согласятся на такой обмен. Но рассмотрим частный случай, когда выполнено неравенство

S₁ + S₂ < 0

(заметим, что оно выполнено и в рассмотренном выше первом случае!). Тогда абсолютная величина первого (отрицательного) приращения S₁ больше второго (положительного) приращения S₂, как это видно из предыдущего неравенства (проверьте это заключение, вспомнив смысл абсолютной величины – см. также наглядную схему на рисунке 4):

Это значит, что крестьяне получат от обмена выгоду, б`oльшую, чем убыток строителей. Тогда они могут затратить часть этой выгоды, компенсировав строителям их потери, и даже с некоторым избытком, так что обмен окажется выгодным для обеих сторон. Вот поучительный пример честной торговли! Точно то же произойдет, если от обмена непосредственно выиграют строители, а проиграют крестьяне. Оба рассмотренных выше случая (первый и второй, с его двумя вариантами, в зависимости от того, кто выигрывает) суммируются одним и тем же неравенством S₁ + S₂< 0.

Рис.4

Если это условие выполнено, то обмен будет выгоден для обеих сторон (при надлежащей компенсации), и потому будет происходить. Но при таком обмене общая сумма трудовых затрат на всю продукцию (и сельскохозяйственную, и энергетическую) уменьшится: в самом деле, уменьшение затрат для крестьян, по наложенному условию, превосходит увеличение затрат для строителей (когда эти последние увеличиваются от обмена), а кроме двух обмениваемых долин, в остальных местах затраты вовсе не меняются. Итак, если S_i означает полную сумму затрат на всю сельскохозяйственную продукцию, а S_II – полную сумму затрат на всю энергию, то, при условии

S₁ + S₂ < 0.

сумма S_I + S_II уменьшается вследствие обмена.

Вспомним теперь, что в зонах А и В (рис.3) выгодно, соответственно, только сельское хозяйство (в А) и только гидростроительство (в В). Вся трудность состоит в разделе спорной области, где возможны оба вида производства, то есть в определении границы между зоной сельского хозяйства К и зоной гидростроительства L (см. там же, на рис.3). Можно ожидать, что долины будут предметом сделок – купли и продажи – которые в конечном счете сведутся к описанным выше операциям обмена, с возможной компенсацией. Как мы видели, такие обмены обоюдно выгодны и, следовательно, несомненно будут происходить, если выполнено приведенное выше условие S₁ + S₂ < 0.

Ясно, что чем больше по абсолютной величине отрицательная левая часть этого неравенства, тем выгоднее обмен, так как обе стороны больше выигрывают в его результате. Обмены прекратятся, когда их выигрыш станет равен нулю – и тогда установится окончательная граница между зонами крестьян и гидростроителей. Естественно предположить, что последние обмены произойдут как раз вблизи этой искомой границы, так что на самой границе будет выполняться равенство S₁ + S₂ = 0.

На рисунке 5а изображен описываемый дальше случай, когда имеет смысл обменять "сельскохозяйственный" участок а, примыкающий к границе со стороны К, на "гидростроительный" участок а', также примыкающий к границе, но со стороны L.

Рис.5а Рис.5б

Подставив в неравенство S₁ + S₂ < 0. полученные выше выражения для S₁ и S₂, придадим ему вид

Это и есть, в подробной записи, условие, при котором происходит обмен участков. Мы будем искать теперь удовлетворяющие ему долины около границы, отделяющей зоны К и L, где такие обмены будут вероятнее всего происходить. Неравенство связывает координаты двух точек: p c координатами (П₁, П₂) и p' с координатами (П₁', П₂'). Поскольку последние обмены будут происходить вблизи границы, естественно искать точки p и p', удовлетворяющие условию , на самой граничной кривой. Предположим, что такие точки найдутся (см. рис.5а). Допустим, далее, что для них выполнено условие . Тогда оказывается, что можно произвести обмен изображенных на рисунке 5а участков с уменьшением суммы всех трудовых затрат S_I + S_II. Участки а и а' мы выберем столь малыми, чтобы координаты каждой долины первого из них были очень близки к координатам точки p, а координаты каждой долины второго – очень близки к координатам точки p'. Надо представить себе, что долины малы по сравнению с участками, а участки – по сравнению со всей "картой" 5а, описывающей значительную часть страны и, тем самым, содержащей большое число долин. При такой близости долин к выбранным на кривой точкам для каждой долины участка а и каждой долины участка а' будет все еще выполнено неравенство , в котором первая скобка относится к долине участка а, а вторая к долине участка а'. Но тогда возможен обмен каждой из долин первого участка на каждую долину второго! Читателю рекомендуется посмотреть выше, каким образом такой обмен обеспечивается неравенством S₁ + S₂ < 0, равносильным . Остается подобрать размеры участков а, а' вблизи точек p, p' так, чтобы они содержали равное число долин, и обменять все долины первого участка на различные долины второго; тогда сумма всех затрат S_I + S_II уменьшится, как было сказано выше.

При таком обмене участков граница между К и L, если смотреть со стороны К, "отступает" вблизи точки p, уступая участок а зоны К, и "наступает" вблизи точки p', захватывая участок а' зоны L. Итак, если на граничной кривой найдутся точки с координатами, удовлетворяющими неравенству , то можно уменьшить сумму всех затрат, причем рынок по-прежнему остается обеспеченным продукцией того и другого вида, поскольку это условие соблюдалось в описанных выше обменах.

Но оказывается, что сумму S_I + S_II можно уменьшить и в том случае, когда для некоторой пар точек p, p' граничной кривой выполняется противоположное неравенство