Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию W(x), где x среднее положение траектории, определяемое выражением
x
=
1
0
x(t)
dt
.
(11.18)
Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид
S'
=
–
0
m
2
x^2
dt
–
W(
x
)
.
(11.19)
С
Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим
=
1
exp
–
0
m
2 x^2 dt
{exp[ - W(x) ]} Dx(t) dx0
x
x
–
1
0
V[x(t')]
dt'
–
W(
x
)
x
x
exp
–
0
m
2
x^2
dt
{exp[
–
W(
x
)
]}
Dx(t)
dx
0
.
(11.20)
Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам x0.
Отметим, что числитель выражения для очень похож на выражение для I(x), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением x и отложить интегрирование по всем возможным значениям x на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины I(x), мы видим, что числитель в не зависит от t'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что
Y
=
x
0
–
x
.
(11.21)
Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то
=
–
–
[
V(x
0
)
–
W(
x
)
]
exp
–
6m
(x
0
–
x
)^2
x
x
{exp[
–
W(
x
)
]}
dx
0
d
x
x
–
–
exp
–
6m
(x
0
–
x
)^2
x
x
{exp[
–
W(
x
)
]}
dx
0
d
x
– 1
.
(11.22)
Интеграл по x0 в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (/6m) 1/2 . Кроме того, интеграл в числителе, содержащий W(x), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию
V(x)
=
6m
–
V(x
0
)
exp
–
6m
(x
0
–
x
)^2
dx
0
.
(11.23)
Вид функции
V(x)
отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала V(x0) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции U(x0), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (h^2/12m) 1/2 . Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 A, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 A (диаметр атома гелия). Величину теперь можно записать в виде
=
[ W(x) -
V(x) ] {exp[ - W(x) ]} dx
{exp[ - W(x) ]} dx
(11.24)
Следующий шаг состоит в вычислении W(x), исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины F'-. Значение F' определено выражением
exp(-E
'
0
)
=
e
S'
Dx(t)
=
=
exp
–
0
m
2
x^2
dt
–
W(
x
)
Dx(t)
=
=
{exp[-W(
x
)]}
x
x
x fixed
exp
–
0
m
2
x^2
dt
Dx(t)
d
x
.
(11.25)