Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 10.8. Плотность жидкого гелия равна 0,17 г/см^3. Оцените по порядку величины температуру, начиная с которой для описания жидкого гелия становятся существенными перестановочные члены.
На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через y; тогда в случае перехода на соседние участки r атомов необходимо учитывать множитель yr, а поскольку y при любой температуре наверняка меньше единицы, то yr в случае больших r может стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долю от полного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 1022
Другой вопрос, возникающий при описании жидкого гелия, касается типа перестановок, которые следует учитывать. Любую перестановку можно описать посредством цикла; так, перестановки 1—4, 4—7, 7—6, 6—1 образуют цикл. Вопрос состоит в следующем: длинные или короткие циклы являются существенными? Внимательное исследование показывает, что при умеренных температурах важны только простые перестановки двух атомов. С падением температуры становятся существенными циклы из трёх атомов, потом из четырёх и т.д.; но внезапно при некоторой критической температуре циклы с длиной, превышающей L, благодаря своему громадному числу компенсируют убывание величины yL. При этой температуре становятся важными очень длинные циклы, в которых участвуют почти все находящиеся в сосуде атомы. В этой точке кривая зависимости теплоёмкости от температуры терпит разрыв, и при более низких температурах жидкий гелий ведёт себя весьма удивительно: он без всякого сопротивления протекает сквозь очень тонкие трубки. Благодаря этому возникает бесконечно большая теплопроводность конечного объёма жидкости и т.д. Эти удивительные свойства представляют собой проявления квантовомеханических эффектов, в частности интерференции амплитуд при замене одного атома другим, приводящей к увеличению суммарной амплитуды. Детали поведения теплоёмкости в области температуры перехода не слишком надёжны в смысле количественного описания, но качественно причина такого перехода ясна *).
*) Более подробное обсуждение функции распределения для жидкого гелия можно найти в статье Фейнмана IPhys. Rev., 91, 1291 (1953)]. (Квантовая теория сверхтекучести была в 1947 г. разработана Н. Н.Боголюбовым [см. Вестник МГУ, 7, 43 (1947), а также монографию: Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости, АН СССР, 1958].— Прим, ред.)
Выражение, аналогичное равенству (10.77), легко записать также и для фермионов, таких, как атомы Не3. Однако в случае жидкого гелия-3 влияние потенциала очень сильно, что не позволяет производить точные количественные расчёты. Причина этого заключена в том, что вклад каждого цикла в сумму по перестановкам будет либо положительным, либо отрицательным в зависимости от чётности числа атомов в цикле. Вклады таких циклов, как, например, L=51 и L=52, при низкой температуре приблизительно равны по модулю, а потому при суммировании они почти сокращаются. Приходится вычислять разность близких по величине членов, а это требует очень аккуратного вычисления каждого члена в отдельности. Известно, что знакопеременный ряд больших и медленно убывающих членов очень трудно суммировать, когда у вас нет точной аналитической формулы для числочлена.
Мы могли бы достичь известного прогресса, если бы в математическом описании ферми-системы можно было переходить к сумме положительных членов. Подобные преобразования были испробованы, однако получающиеся при этом выражения для членов ряда оказываются слишком сложны, чтобы оценивать их даже качественно.
Мы видели, что в случае молекул, отстоящих друг от друга на расстояния порядка 1 A, эффекты обмена (нетождественные перестановки) существенны лишь тогда, когда температура снижается до нескольких градусов Кельвина. Рассмотрим противоположный случай — поведение электронов в каком-нибудь твёрдом металле. Масса электрона намного меньше массы молекулы, и поэтому критическая температура для них оказывается значительно более высокой. При комнатной температуре электроны в металле точно описываются уравнениями, учитывающими лишь обменные эффекты описанных выше циклических перестановок. С этой точки зрения комнатная температура слишком низка для электронов. Доминирующее значение имеют обменные эффекты, т.е. электронный газ является вырожденным. Конечно, электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона, и это взаимодействие довольно сильное; однако поскольку оно является дальнодействующим, его влияние будет усредняться. Мы можем быть вполне удовлетворены приближением, в котором электроны считаются независимыми объектами, хотя реально каждый из них движется в периодическом потенциальном поле, создаваемом ядрами и соседними электронами. Тем не менее, уподобив электроны в металле идеальному ферми-газу (в котором отсутствует взаимодействие частиц), можно многое узнать об их поведении.
Однако ясно, что мы не сможем изучить это явление достаточно детально, поскольку в таком рассмотрении остаётся загадочной сверхпроводимость, возникающая в металлах при нескольких градусах Кельвина. При сверхпроводимости, по крайней мере у некоторых металлов, играет роль какое-то взаимодействие, связанное с медленными колебаниями атомов; это доказывается тем обстоятельством, что температура перехода для двух различных изотопов одного металла зависит от массы атома. Массовое число изотопа не могло бы влиять на процесс, если бы переход обусловливался взаимодействием самих электронов или их взаимодействием с жёстко фиксированными атомами. Поэтому приближение, в котором атомы фиксированы, следует считать неправильным. Но каким образом колебания атомов приводят к внезапному скачку теплоёмкости, а ниже критической температуры делают возможной электрическую проводимость без сопротивления? Этот вопрос впервые был убедительно разъяснён Бардином, Купером и Шриффером 19). Метод интегрирования по траекториям не сыграл в их анализе никакой роли; он фактически никогда не был полезен при рассмотрении вырожденных ферми-систем.
19) J. Вагdееn, L. N. Соореr, J. R. Sсhгiеffеr, Phys. Rev., 106, 162; 108, 1175 (1957). (Математически корректная теория этого явления была одновременно разработана Н. Н. Боголюбовым как обобщение его работ по теории сверхтекучести; см. литературу в примечании на стр. 314.— Прим, ред.)
Закон Планка для излучения абсолютно чёрного тела. Легко получить функцию распределения для любой системы взаимодействующих осцилляторов. Такая система эквивалентна набору независимых осцилляторов с частотами i. Величина свободной энергии F для совокупности независимых осцилляторов равна сумме свободных энергий каждого из этих осцилляторов. Последние, как это видно непосредственно из (10.69), равны
kT ln
2 sh
h
2kT
Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде
F
=
kT
i
ln
2 sh
hi
2kT
=
kT
i
ln
(1-e
hi/kT
)
+
i
hi
2
.
(10.85)
Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы.
В случае электромагнитного поля, заключённого в объёме V, число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора K; нулевая энергия при этом не учитывается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесённая к единице объёма, равна
F
=
kT
d^3K
(2)^3
2 ln
(1-e
– hKc/kT
)
.
(10.86)
Внутренняя энергия U представляет собой частную производную от F по , и после подстановки =Kc принимает вид
U
=
2
d^3K
(2)^3
h
1
eh/kT– 1
.
(10.87)
Элемент объёма в импульсном пространстве можно записать так:
d^3K
=
4K
dK
=
4
^2
c^3
d
.
(10.88)
Поэтому энергия электромагнитного поля, заключённая в области частот от до +d, равна
2·4
(2c)^3
h
eh/kT– 1
.
(10.89)
Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно чёрного тела, открытый Планком. Он явился первым количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы.