Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Существует много важных явлений статистического характера, для описания которых классическое приближение становится неприменимым. Трудности, вызываемые большим числом аргументов интеграции, усугубляются здесь ещё и сложностью квантовомеханических понятий.
Строго говоря, выражение (10.48) открывает для нас несколько больше возможностей по сравнению с классической статистикой. Доказательством этому служит появление постоянной h в коэффициенте перед интегралом. В классической механике функцию распределения можно было получить лишь с точностью до постоянного множителя; поэтому и логарифм её определялся только с точностью до произвольной аддитивной константы. Поэтому в выражении для свободной энергии появлялся член, пропорциональный температуре, а в энтропии — аддитивная
§ 3. Квантовомеханические эффекты
Как мы уже упоминали, существуют случаи, когда классическое приближение не является достаточно точным. При этом необходимо учитывать изменение потенциала, возникающее в результате движения частицы вдоль «траектории». В этом параграфе мы рассмотрим подобные влияния в первом приближении теории возмущений.
Вместо того, чтобы в выражении для матрицы плотности (10.43) заменять потенциал постоянной величиной V(x1), можно было бы попробовать разложить его в ряд Тейлора в точке x1. Однако проще и точнее было бы проделать это разложение в окрестности средней точки траектории, определяемой равенством
x
=
1
h
h
0
x(u)
du
,
(10.50)
которая существует для каждой траектории. По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам x1. При этом функция распределения принимает вид
Z
=
d
x
x1
x1
exp
–
1
h
m
2
h
0
x^2
du
+
h
0
V[x(u)]
du
Dx(u)
.
(10.51)
Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) x, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (это означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам x1).
Разлагая потенциал V(x) в ряд Тейлора в точке x, получаем
h
0
V[x(u)]
du
=
h
V(
x
)
+
h
0
[x(u)-
x
]
V'(
x
)
du
+
+
1
2
[x(u)-
x
]^2
V''(
x
)
du
.
(10.52)
В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким образом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка. Применяя это разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения
Z
e
– V(x)
d
x
x1
x1
exp
–
h
0
m
2
x^2
+
+
[x(u)-
x
]^2
V''(
x
)
du
h
Dx(u)
.
(10.53)
Интеграл
h
0
(x-
x
)
du
=0
.
Подставляя в качестве координаты траектории y=x-x, запишем это так:
h
0
y
du
=0
.
а сам интеграл преобразуем к виду
x1-x
x1– x
exp
–
h
0
m
2
y^2
+
1
2
y^2
V''(0)
du
h
Dy(u)
.
(10.54)
Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ^2=V''(0)/m.
Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом. Умножаем весь интеграл по траекториям на -функции
h
0
ydu
.
Для того чтобы оперировать с -функцией под знаком интеграла, произведём над ней преобразование Фурье
(x)
=
–
[exp(ikx)]
dk
2
и запишем
–
dk
2
x1-x
x1– x
exp
–
1
h
h
0
m
2
y^2
+
1
2
V''
y^2
+
iky
du
Dy(u)
.
(10.55)
Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если m и V'' считать мнимыми. Мы интересуемся лишь случаем малых V'' и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка.