Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям k, после чего решение с точностью до первого порядка по V'' имеет вид
const
1-
^2h^2
24m
V''
(
x
)
.
(10.56)
Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по V''):
Z
=
mkT
2h^2
1/2
exp
–
V(
x
)
+
h^2
24m
V''(
x
)
d
x
.
(10.57)
Неизвестная
Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; mi — масса i-й частицы) равна
h^2
24m
i
1
mi
2
i
V.
(10.58)
На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.
Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень h, содержит множитель
1-
^2h^2
24m
V''
(
x
)
+
74h4
8x720m^2
[V''(
x
)]^2
–
^3h^3
24x48m^2
V''''
(
x
)
+
…
.
Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала V(x) модифицированное выражение V+(h^2/24m)V''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал U(x), после подстановки которого вместо потенциала V классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения
Z
=
{
exp[-V(
x
)]
d
x
}
exp
m
2h
h
0
x^2
du
–
–
1
h
h
0
{
V[x(u)]
–
V[
x
]
du
}
Dx(u)
.
(10.59)
и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям x(u) от функции ef, где
f
=-
h
0
{
V[x(u)]
–
V[
x
]
}
du
h
(10.60)
и усреднение производится с весовой функцией exp[-(m/2h)x^2du] Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего
e
f
– >
e
f
,
(10.61)
мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по f, или, точнее, порядка разности между f^2 и f^2. В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой).
Найдём среднее значение функции f для каждого x:
f
=
1
h
exp
–
m
2h
h
0
x^2
du
h
0
{
V[x(t)]
–
V[
x
]
}
dt
Dx(u)
(10.62)
в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).
Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл
I(
x
)
=
exp
–
m
2h
h
0
y^2
du
{
V[
x
+y(t)]
–
V[
x
]
}
Dy(u)
dY
,
(10.63)
где на траектории y(u) накладывается ограничение
y(0)
=
y(h)
=
Y;
h
0
y(u)
du
=0.
(10.64)
Фиг. 10.1 Периодичность траекторий.
Все траектории, которые в момент t=h возвращаются в исходную точку, соответствующую моменту t=0, можно рассматривать как отрезки длины h периодических траекторий, период которых равен h.
Оказывается, что интеграл I(x) не зависит от t. Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как показано на фиг. 10.1, отрезок длины h периодической траектории, период которой тоже равен h. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: y(t) и y1(t)=y(t1+t), как это показано на фиг. 10.2. Точка y(t1) на первой траектории, отвечающая моменту t=t1 на второй траектории соответствует моменту t=0, т.е. y1(0)=y(t1). Кроме того, для любого другого момента ti в этом семействе отыщется аналогичная функция yi(t), для которой yi(0)=y(ti), и все такие траектории дадут одинаковый вклад в интеграл
h
0
y^2
du
.
Все эти рассуждения применимы, конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно положить в интеграле t=0, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной t.
Фиг. 10.2. Выбор начального момента.
Предположим, что одна из «периодических» траекторий y(t), показанных на фиг. 10.1, имеет при t=t1 значение y(t1). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать эту же траекторию, сдвинутую влево на расстояние t1, [т.е. y(t+t1)] и принимающую при t=t1, то же значение, что и в момент t=0. Поэтому интеграл, усреднённый по всем таким траекториям, не должен зависеть от выбора начального момента t=0.