Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Задача 10.1. Покажите, что матрица плотности в случае гармонического осциллятора имеет вид

(x',x)

=

m

2h sh h

1/2

exp

–

m

2h(sh h)^2

x

x

[

(x^2+x'^2)

ch h

–

2xx'

]

.

(10.44)

Сравните это выражение с результатами задачи 3.8. Покажите также, что свободная энергия равна kT ln [2sh(h)/2kT]. Последнюю величину проверьте прямым вычислением суммы (10.2).

Если температура не слишком низка (далее будет обсуждаться

вопрос, какая температура является слишком низкой), то h очень мало. Поэтому при вычислении функции распределения, для которой x₁=x₂, каждая траектория, начинаясь в точке x₁ возвращается в эту точку через очень короткое «время». Действительно, трактории не могут проходить в большом удалении от точки x₁, поскольку возвращение назад потребует очень большой «скорости» и большой «кинетической энергии». Для таких траекторий экспонента в выражении (10.43) становится ничтожно малой и их вклад в сумму по всем траекториям будет незначителен. В силу этих обстоятельств траектории x(u), которые должны рассматриваться при вычислении V[x(u)], никогда не располагаются далеко от начальной точки x₁. Поэтому в первом приближении можно записать для всех траекторий V[x(u)]V[x₁]: тогда потенциальная энергия оказывается не зависящей от траектории и часть экспоненты, содержащую потенциал, можно вынести за знак интеграла. Таким образом, для не слишком малых температур

(x

₁

,x

₁

)

=

e

^{– V(x₁)}

_x1

^x₁

exp

–

m

2h

_h

⁰

x^2(u)

du

Dx(u)

.

(10.45)

В этом последнем выражении фигурирует такой же интеграл по траекториям, как и в случае свободной частицы. Его можно вычислить тем же способом, каким в гл. 3 вычисляли ядро для движения свободной частицы. В результате получим

_x2

^x₁

exp

–

m

2h

_h

⁰

x^2(u)

du

Dx(u)

=

=

mkT

2h^2

1/2

exp

–

mkT(x₂– x₁)^2

2h^2

.

(10.46)

Если нас интересует только функция распределения, то можно положить x₂=x₁; тогда

(x

₁

,x

₁

)

=

mkT

2h^2

1/2

e

^{– V(x₁)}

.

(10.47)

Функция распределения представляет собой интеграл от этого выражения по всем начальным конфигурациям x₁ т.е.

Z

=

mkT

2h^2

1/2

e

^{– V(x₁)}

dx

₁

.

(10.48)

Эта

формула определяет искомое распределение в классическом приближении. С точностью до неопределённого множителя её впервые получил Больцман как следствие классической механики. В более сложных случаях (например, при большем числе переменных) функция распределения оказывается произведением двух сомножителей. Первый из них — интеграл по траекториям, который получился бы, если бы все частицы оказались свободными; второй называется конфигурационным интегралом и содержит e^{– V}, где V — потенциал системы, зависящий от всех N описывающих систему переменных. Например, в случае системы N частиц, взаимодействие которых определяется потенциалом V(x₁,x₂,…,x_N), где x_a — вектор положения частицы a, этот интеграл имеет вид

{exp[

–

V(x

₁

,x

₂

,…,x

_N

)

}]

d^3x

₁

d^3x

₂

…

d^3x

_N

.

Такое простое выражение для функции распределения является лишь приближением, справедливым в случае, если за «время» h частицы системы не могут значительно удалиться от своих первоначальных положений. Предельное удаление частиц, на котором это приближение теряет силу, можно оценить из равенства (10.46). Легко видеть, что если конечная координата отличается от начальной на величину порядка

x

=

h

mkT

(10.49)

то экспонента в (10.46) быстро убывает. Отсюда можно заключить, что все промежуточные точки, расстояние которых от начальной или конечной превышает x, окажутся на траекториях, не дающих заметного вклада в интеграл (10.43). Если при перемещении точки x на отрезок x потенциал V(x) изменяется слабо, то справедлива классическая статистическая механика.

Например, для обычного твёрдого тела или жидкости с атомным весом порядка 20 x при комнатной температуре составляет около 0,1 A, в то время как межатомные силы проявляются на расстояниях 1-2 A. Поэтому смещения, превышающие 0,1 A, не дадут вклада в матрицу плотности, тогда как потенциал останется неизменным до тех пор, пока смещение не достигнет 1-2 A. Ясно, что в таких условиях классическая статистика будет достаточно точной.

Все загадочные переходы типа твёрдое тело — жидкость — газ лежат в области, где справедлива классическая статистика. Математическое описание подобных процессов упирается в проблему вычисления интеграла по координатам всех атомов от экспоненты e^{– V}. На первый взгляд представляется неожиданным, что поразительное разнообразие столь специфических явлений описывается простым интегралом; однако это удивление длится лишь до тех пор, пока не осознай тот факт, что наш интеграл является многократным по огромному числу аргументов. Наш обычный опыт обращения с интегралами, зависящими от одной или самое большее нескольких переменных, ничем не помогает нам при тех качественных различиях, которые возникают при числе аргументов, приближающемся к бесконечности.

Своеобразие задач теории твёрдого тела, теории жидкостей и сжимающихся газов, как и поведение этого многократного интеграла, заключается в том обстоятельстве, что простые описания огромного множества простых систем, объединённых вместе, дают такое обилие явлений. Только воображение может помочь нам понять, каким образом объединение систем приводит к подобным результатам. Грубое качественное рассмотрение легко предсказывает многие из этих эффектов, однако и проблема количественного описания их тоже должна быть заманчива для физика-теоретика.