Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Это правило легко обобщается на случай многих частиц:

(1,2,3,…,N)

=

(1,2,3,…,N),

(1,2,3,…,N),

… … … .

(10.80)

Простейшее следствие этого общего правила состоит в том, что волновая функция обязана быть симметричной или антисимметричной. Несмотря на то что в общем случае существуют и другие решения уравнения Шрёдингера, в природе реализуются только симметричные и антисимметричные. Поэтому в выражении для функции распределения (10.2) мы должны суммировать не по всем значениям гамильтониана H, которые можно получить при решении уравнения H_n=E_nn,

а только по тем из них, волновая функция которых симметрична. Например, если не учитывать статистику N атомов, то матрица плотности (x',x) определяется выражением (10.28). Каким образом следует видоизменить сумму в этом выражении, чтобы в неё входили только лишь симметричные функции?

Для этого применим следующий искусственный приём. Заметим сначала, что из любой функции можно получить симметричную, поменяв местами переменные и сложив полученную новую функцию с исходной; независимо от вида f(x₁,x₂) комбинация f(x₁,x₂) + f(x₂,x₁) является симметричной функцией. Следовательно, для любой волновой функции (x₁,x₂,…,x_N) комбинация

'(x

_i

)

=

 

^P

(Px

_i

)

(10.81)

будет симметричной. Теперь заметим, что если _n(x_i) является решением уравнения Шрёдингера, то '_n(x_i), определённая выражением (10.81), также будет его решением, поскольку гамильтониан H симметричен относительно перестановки координат. Поэтому всякая функция _n(Px) с переставленными координатами, равно как и сумма этих функций, будет решением уравнения Шрёдингера.

Для некоторых собственных значений энергии E_n существуют симметричные собственные функции _n, а для некоторых—нет. Предположим, что E_k — какое-то собственное значение энергии, для которого уравнение Шрёдингера не имеет симметричного решения. В этом случае сумма

 

^P

_k

(Px)

Должна обратиться в нуль, поскольку иначе она являлась бы симметричным решением, соответствующим значению E_k. Этот результат означает, что операция, определённая выражением (10.81), отбирает только те решения волновых уравнений, которые являются симметричными, а все другие решения отбрасываются. Если _n(x) — симметричная функция, то она равна _n(Px) поскольку существует N! способов перестановки N атомов, мы имеем

 

^P

_n

(Px

_i

)

=

N!

_n

(x

_i

),

если

_n

симметрична,

0,

если

_n

имеет какие-то

другие свойства симметрии.

(10.82)

Этот результат и отвечает на наш вопрос. Теперь из суммы, определяющей матрицу плотности, нужно отобрать только те члены, которые относятся к симметричным состояниям. Таким образом,

 

^P

(Px',x)

=

_все

ⁿ

 

^P

_n

(Px')

*

n

(x)

e

^{– E_n}

=

=

N!

_сим

ⁿ

_n

(x')

_n

(x)

e

^{– E_n}

=

N!

(x',x)

.

(10.83)

Именно поэтому мы, определяя функцию распределения в случае симметричной статистики, в выражении (10.77) переставляем частицы и делим результат на N!. Получаемая при этом функция распределения удовлетворяет соотношениям

(x

₀

,x

₀

)

d

^N

x

₀

=

Z

_сим

=

_сим

ⁿ

e

^{– E_n}

.

(10.84)

Отметим некоторые характерные особенности соотношения (10.77). Для функции распределения мы должны были бы ожидать при высоких температурах классического решения, в котором отсутствовали бы квантовые эффекты. Пренебрежём на время потенциалом и рассмотрим влияние смещения атома в некоторую точку, отстоящую от исходной на расстояние d. В интеграле по траекториям (10.77) это соответствует смещению из начальной точки R_i в положение PR_i, отличающееся перестановкой атомов. Вклад каждой такой перестановки в общую сумму пропорционален exp(-md^2kT/2h^2), т.е. уменьшается при увеличении температуры или при увеличении расстояния между атомами. Следовательно, пока атомы не находятся чрезвычайно близко друг к другу, никакие перестановки (даже простейший обмен местами между двумя атомами) несущественны по сравнению с тождественной перестановкой, которая оставляет все атомы на их прежних местах. Если же теперь учесть эффекты, связанные с потенциалом, который в жидком гелии резко возрастает на расстоянии 2,7 A от центра атома, то несущественными оказываются все конфигурации, в которых межатомное расстояние меньше этой величины.

Поскольку при суммировании существенный вклад даёт лишь тождественная перестановка, нам остаётся для рассмотрения только множитель 1/N!. Уже на раннем этапе классической термодинамики физики отдавали себе отчёт в том, что такой множитель удобен, когда частицы одинаковы, однако его смысл оставался неясным. Когда изучаются системы с несколькими различными сортами атомов, влияние этого множителя на величину химического потенциала называется энтропией смешения.

По мере падения температуры экспоненциальный множитель exp(-md^2kT/2h^2), препятствующий переходам в новые конечные положения, становится все меньше и меньше. Это означает, что при чрезвычайно низких температурах в суммировании по перестановкам станут существенными новые члены. В этом случае должны быть, конечно, учтены квантовые эффекты; мы видели, что в первом приближении это можно сделать заменой потенциала V на эффективный потенциал U. С падением температуры начиная примерно с 2,4—2,3°K, теплоёмкость жидкого гелия начинает медленно возрастать.