Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
U(k)
=
L
0
u(x)
e
ikx
dx
;
(8.95)
тогда обратное преобразование даст
u(x)
=
1
2
–
U(k)
e
– ikx
dk
.
(8.96)
Нормальной
U(k)
=
mL
N
Q(k)
.
(8.97)
Выражение для кинетической энергии, куда входит величина u(x,t), можно получить с помощью соотношения (8.92):
кинетическая энергия=
1
2
u
t
^2
dx
.
(8.98)
Чтобы выразить потенциальную энергию через новые переменные, необходимо представить разность смещений двух смежных атомов, как непрерывную функцию от координат. Используя приближение непрерывной среды, можно записать
q
i+1
– q
i
=
m
[
u(x
i+1
,t)
–
u(x
i
,t)
]
d
m
u
x
.
(8.99)
Это означает, что потенциальная энергия равна
V
=
^2d^2
2
m
d
L
0
u
x
^2
dx
=
c^2
2
L
0
u
x
^2
dx
.
(8.100)
В последнем равенстве используем константу c=d, которую принято называть коэффициентом упругости. Определить её физически можно следующим образом. Предположим, что мы растягиваем цепочку атомов, которая имеет длину L, и при этом единичный элемент удлиняется на отрезок , т.е. новая длина системы составит L(1+). (Мы рассматриваем статическое растяжение, а не вибрацию.) Это означает, что расстояние между каждой парой атомов увеличится до d(1+) и, следовательно, разность смещений смежных атомов будет равна
q
i+1
– q
i
=
d
m
.
(8.101)
Используя выражение (8.66), мы получаем величину потенциальной энергии, запасённой в струне при растяжении
V
=
^2
2
^2
d^2
mN
=
c^2
2
^2
L
.
(8.102)
Таким образом, в пределе при малом е сила, необходимая для растяжения струны, равна
V
L
=
c^2
.
(8.103)
Последнее равенство даёт напряжение в струне, когда деформация {растяжение на единицу длины) равна . Итак, мы имеем
напряжения
деформация
=
c^2
=
постоянная упругости
.
(8.104)
Комбинируя выражения (8.98) и (8.100), можно записать лагранжиан так:
L
=
2
u
t
^2
dx
–
c^2
2
u
x
^2
dx
.
(8.105)
Фундаментальные моды, которые мы здесь рассматриваем, имеют вид exp (ikx), а нормальные координаты имеют вид U(k,t). Читатель может самостоятельно показать, что если выразить лагранжиан через эти нормальные координаты, то получится
L
=
2
U(k,t)
t
^2
dk
2
–
c^2
2
k^2U^2(k,t)
dk
2
.
(8.106)
Систему, которая описывается этим лагранжианом, можно интерпретировать как некий набор гармонических осцилляторов; при этом каждому осциллятору соответствует своё значение k. В принятом нами приближении непрерывной среды k является непрерывной переменной, пробегающей бесконечное число значений. Можно было бы снова вернуться к картине дискретного расположения атомов, вспомнив, что интеграл по dk на самом деле является суммой по дискретным значениям k, причём соседние значения k отличаются друг от друга на величину 2/L (L — длина струны), а общее число их равно числу атомов в системе.
Уравнения движения можно выразить в непрерывных переменных, если найти экстремум для интеграла действия
T
0
L
dt
.
Используя лагранжиан L из выражения (8.105), получаем
^2u
t^2
=
c^2
^2u
x^2
.
(8.107)
С помощью рассуждений, подобных выводу соотношения (8.99), можно показать, что это уравнение аналогично ранее полученному уравнению движения (8.68). Уравнение (8.107) имеет решение
u
=
e
– it
a(x)
,
(8.108)
в точности совпадающее с выражением (8.71), где
– ^2a
=
c^2
da
dx
^2
,
(8.109)
и в полном соответствии с выражениями (8.70) и (8.74)
a(x)
=
e
ikx
.
(8.110)