Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

^2

,

(8.126)

что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.

Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (ik·r), параллельную вектору k, получим

–

1

c^2

^2U₁

t^2

=

k^2U

₁

.

(8.127)

Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что U₁(k,t) действительно является нормальной координатой.

Из лагранжиана, записанного

в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину E=nh(kc) выше энергии основного состояния.

Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат u(r,0), к состоянию с другой системой координат u(r,T). Эта амплитуда имеет вид

K[

u(r,T),T

;

u(r,0),0

]=

=

exp

–

i

2h

_T

⁰

_Lz

⁰

_Ly

⁰

_Lx

⁰

u

t

^2

–

c^2

(·u)^2

d^3r

dt

D^3

u(r,t)

.

(8.128)

Интегрирование распространяется здесь на траектории u(x,t), выраженные через все три компоненты вектора r и время t. Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция u(r,t) имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях. Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций x(t) одного аргумента t, а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции u(r,t) четырёх аргументов x, y, z и t и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.

Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагранжиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8.126). Мы должны учесть граничные условия при t=0 и t=T. Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи физики, где при t=0 значения координат и их производных, т.е. и u(r,0) и (u/t)_t=0, заданы.

Мы могли бы следовать этим путём, однако из предыдущих примеров нам уже известно, что подобную задачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобразование имеет вид

K

=

_U1(T)

^U₀(T)

exp

–

i

2h

 

^k

(

U

₂

¹

–

k^2c^2

U

₂

¹

)

dt

D

U

₁

(r,t)

,

(8.129)

где граничные условия заданы соотношениями

U

₁

(T)

=

U

₁

(k,T)

=

k

k

·

e

^ik·r

u(r,T)

d^3r

,

U

₁

(0)

=

U

₁

(k,0)

=

k

k

·

e

^ik·r

u(r,0)

d^3r

.

(8.130)

Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается лишь как функция одной переменной t. Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый из которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную задачу уже решали. Результат [см. выражение (8.10)] запишется в виде

K

=

 

^k

kc

2ih sin kcT

1/2

exp

ikc

2h sin kcT

[

U

₂

¹

(k,T)

+

U

₂

¹

(k,0)

]x

x

cos kcT

– 2

U

₁

(k,T)

U

₁

(k,0)

.

(8.131)

Произведение берётся по всем значениям компонент вектора k например, компонента k_x принимает значения 2n_x/L, где n_x — целое число, изменяющееся от 0 до N=L_x/d (напомним, что здесь d — расстояние между атомами и что изучаемое тело имеет ребра длиной L_x, L_y и L_z). Конечно, приближение непрерывной среды подразумевает нулевое расстояние между атомами, а это означает, что число сомножителей произведения в пределе неограничено. Однако мы не будем касаться этой проблемы и сконцентрируем наше внимание только на той части выражения, которая содержит зависимость от начальных и конечных координат. Поэтому, пренебрегая радикалом перед экспоненциальным членом в правой части выражения (8.131), можно приближённо написать это выражение как

K

~

exp

i

2h

kc

{[

U

₂

¹

(k,T)

+

U

₂

¹

(k,0)

]x

x

cos kcT

– 2

U

₁

(k,T)

U

₁

(k,0)

}

(sin kcT)

^{– 1}

d^3k

(2)^3

.

(8.132)

Выражение (8.132) сохраняет зависимость амплитуды от граничных значений U₁(k,0) и U₁(k,T). Для любого выбора этих функций [а они, как видно из формул (8.130), в свою очередь зависят от функций и u(r,0) и u(r,T)] в соотношении (8.132) может быть формально выполнено интегрирование и получен искомый результат. Таким образом, можно, хотя бы в принципе, получить ответ на все вопросы о поведении квантовомеханической системы.