Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

§ 8. Квантовая теория поля

Предположим, что мы имеем дело с волнами или модами, которые описываются непрерывными функциями, такими, как u(r,t), вкоторых или вообще не учитывается структура среды, или длины волн настолько велики, что такой структурой можно пренебречь. В этом случае скажем, что u(r,t) является полем, т.е. функцией каждой точки пространства. В одном из примеров уже рассматривалось поле упругости, т.е. поле звуковых колебаний. При такой терминологии уравнения движения называются уравнениями поля. В данной главе мы будем иметь дело только с линейными уравнениями поля; лагранжиан назовём лагранжианом поля; нормальные координаты U(k,t) будут координатами нормальных мод поля. Описание этих мод в виде квантовых осцилляторов обычно называется квантованием

поля. Поэтому и сама теория именуется квантовой теорией поля, с тем чтобы отличать её от классического способа рассмотрения уравнений поля.

Как мы уже видели, основная часть усилий в квантовой теории поля затрачивается на решение классических уравнений движения для отыскания нормальных мод, описание которых не выходит за рамки классической физики. Последующее «квантование» в сущности заключается лишь в дополнительном утверждении, что каждая из нормальных мод — квантовый осциллятор с уровнями энергии h(n+ 1/2 ). Изложенная таким образом квантовая теория поля оказывается лишь частным следствием уравнения Шрёдингера, а не какой-то сверхтеорией, объясняющей все.

Так будет и так должно быть в любом случае, когда переменные самого поля (подобно звуковым волнам или давлению) в итоге выражаются только лишь через некоторые комбинации основных механических переменных. Эти основные переменные описывают положения частиц (атомов, электронов, ядер и т. д.), реально образующих среду, в которой возбуждается поле. Например, рассматривая звуковые процессы, мы предполагаем, что уравнение Шрёдингера описывает движение элементов структуры вещества, т.е. атомов в кристалле. Отсюда ясно, что длинноволновые звуковые колебания подчиняются классическим линейным уравнениям поля, в то время как моды оказываются квантованными.

В немногих случаях классические уравнения полей относятся к таким (давно известным) системам, для которых квантовомеханическое исследование на основе уравнения Шрёдингера до сих нор ещё не проделано. Например, применив классическую аналогию, можно получить уравнения для колебательного описания ядерной материи [5]. Превосходная идея о том, что моды поля можно в этом случае рассматривать как квантовые осцилляторы, позволила составить и решить квантовые уравнения. Таких примеров в физике осталось немного.

В квантовой механике имеется и другой тип уравнений, принципиально отличный от всех рассмотренных выше. Примером может служить система линейных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эта система приводит к волновому уравнению, вполне аналогичному тому, что мы уже вывели для звука, однако в этом случае имеют место совершенно другие поляризационные свойства. Подобно тому, как в трубе органа образуются стоячие волны, электромагнитное поле в замкнутом объёме также имеет, если его рассматривать классически, набор фундаментальных мод. Отсюда естественно предположить, что эти колебания квантованы и каждая мода определяется энергетическим уровнем, превышающим основное состояние системы на E=hn и т.д. Это — основное предположение квантовой электродинамики. Нельзя сказать, что такой вывод строго следует из уравнения Шрёдингера, потому что электромагнитное поле не понимается здесь в смысле длинноволнового приближения к среде, имеющей атомную структуру. Сегодня мы уже не думаем о какой-то специальной среде для подобного рассмотрения электромагнитного поля, а считаем, что уравнения Максвелла описывают некий фундаментальный закон природы. Мы просто предполагаем, что они квантуются и именно тем простым способом, который описан выше. В гл. 9 обсудим этот вопрос более подробно.

Гипотеза о квантуемости электромагнитных полей согласуется со всеми экспериментами, проделанными до сих пор, хотя здесь имеются и некоторые теоретические трудности. Они связаны с необходимостью распространения этой схемы на моды, соответствующие очень малым длинам волн. При этом возникают различные эффекты, которые приводят к расходимости интегралов, если интегрирование по длинам волн распространяется вплоть до нуля. Подобные же трудности появляются и в рассмотрении вибраций кристалла при попытке исследовать область очень коротких волн, где длины их оказываются сравнимы с межатомными расстояниями, т.е. когда приближение непрерывности уже непригодно. Тогда мы просто отказываемся от такого приближения и этим ограничиваем число нормальных мод в кристалле конечного объёма; в то же время в электродинамике количество мод в любом объёме бесконечно.

Для обозначения мод различных полей обычно используются разные названия. Кванты звука или колебаний в кристалле обычно называются фононами, кванты в теории электромагнитного поля — фотонами, в теории мезонных полей — мезонами и т.д. Даже электроны можно представлять себе в виде возбуждений поля, но это поле будет совсем непохоже на те, которые мы до сих пор рассматривали. Его обычно называют ферми-полем; частицы при этом подчиняются принципу исключения и лагранжиан квантуется не путём перехода к набору гармонических осцилляторов, как это делалось выше, а несколько иным способом. Частицы, возникающие при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов, обычно называются бозе-частицами; они подчиняются симметричной статистике (статистике Бозе). Это означает, что если две частицы имеют соответственно волновые числа i₁ и i₂, то для них существует только одно состояние и нет такого состояния, где первой соответствовало бы значение i₂, а второй — значение i₁. Это ясно из того, что наше поле имеет только одно состояние, в котором моды имеют волновые числа i₁ и i₂ и возбуждены до их первых уровней. Такое состояние определяется энергией h₁+h₂, и здесь бессмысленно задавать вопрос: если поменять эти частицы местами, то какой из них соответствует возбуждение? В гл. 9 обсудим этот вопрос более детально на примере фотонов электромагнитного поля.

Задача 8.7. Считают, что нейтральные частицы с нулевым спином (подобные ⁰– мезонам) в свободном состоянии можно представить полем с лагранжианом

L

=

1

2

t

^2

–

c^2||^2

+

²c⁴

h²

d^3r

dt

,

(8.133)

где — некоторая константа.

Покажите, что это поле имеет квантовые состояния, соответствующие волнам exp (ik·r) с энергией возбуждения

h

=

(h^2i^2c^2+^2c

⁴

)

^1/2

.

(8.134)

Если hk=p рассматривать как импульс кванта, энергия запишется в виде

E

=

(|p|^2c^2+c

⁴

)

^1/2

.

(8.135)

Это релятивистская формула для энергии частицы с импульсом p и массой (отметим, что для малого p^2 можно приближённо положить E=c^2+p^2/2+…, т.е. E равно энергии покоя c^2 плюс кинетическая энергия p^2/2).

Состояние поля, когда мода с волновым числом k₁ возбуждена до второго квантового уровня, мода k₂ — до первого и т. д., мы будем интерпретировать как состояние системы, имеющей две частицы с импульсом hk₁ одну с импульсом hk₂ и т. д. За основное принимается состояние, в котором нет ни одной частицы; оно называется состоянием вакуума. Переход осцилляторов поля на возбуждённые уровни и обратно соответствует рождению и аннигиляции частиц; именно таким образом эти процессы и рассматриваются в релятивистской квантовой теории.