Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила
В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т.е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец,
Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.
Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.
Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде
L
=
M
2
x^2
–
M^2
2
x^2
–
(t)x
,
(8.136)
где (t) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от t=0 до t=T, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при t=0, так и в конце при t=T. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду K(b,a) вероятности перехода осциллятора из точки xa в момент времени t=0 в точку xb в момент t=T. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода Gmn для осциллятора, который первоначально находился в состоянии n, а затем в момент T оказался в состоянии m. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.
В § 1 мы определили волновые функции n для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду Gmn прямыми подстановками в выражение
G
mn
=
e
(i/h)EmT
–
–
m
(x
b
)
K(x
b
,T;x
a
,0)
n
(x
a
)
dx
a
dx
b
.
(8.137)
Для случая m=n=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим
G
00
=
exp
–
1
2mh
T
0
t
0
(t)
(s)
e
– i(t-s)
ds
dt
.
(8.138)
Если m и n не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния f в состояние g, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна
F(b,a)
=
m=0
n=0
G
mn
f
*
m
(b)
f
n
(a)
e
– iEmT/h
=
=
m=0
n=0
G
mn
exp
–
M
4h
(a^2+b^2)
x
x
anbm
m!n!
M
2h
(m+n)/2
e
– iT/2
,
(8.139)
где M — масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим Gmn, умножая F(b,a) на exp[(M/4h)(a^2+b^2)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням a и b. Поэтому нам удобнее сперва вычислить
F(b,a)
=
–
–
exp
–
M
2h
(x
2
– b)^2
x
x
K(x
2
,T;x
1
,0)
exp
–
M
2h
(x
1
– a)^2
dx
1
dx
2
,
(8.140)
где K(x2,T;x1,0) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем
F(b,a)
=
exp
–
M
4h
(a^2+b^2-2abe