Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

=

xA

.

(9.7)

Это соотношение ещё не полностью определяет вектор A, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

·A

=0.

(9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырёхмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины ·A скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе,

мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив E+(1/c)(A/t) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

E

=

– -

1

c

A

t

(9.9)

Уравнения (9.2) — (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

·E

=

– ^2

=

4

.

(9.10)

Если =0, то =0 и E=-(1/c)(A/t). При этом из уравнения (9.3), если j=0, следует

^2A

–

1

c^2

^2A

t^2

=0

(9.11)

[так как x(xA) = (·)-^2A]. Таким образом, каждая компонента вектора A удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам

A(R,t)

=

a

_k

(t)

e

^ik·R

(9.12)

то уравнение для амплитуды a_k запишется как a_k; отсюда следует, что каждая компонента a_k — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой =kc. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора a_k в направлении k должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

k·a

_k

=0.

(9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению k будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы E, B и k взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы A и , а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

A(R,t)

=

4

c

a

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

j(R,t)

=

j

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду e, находящемуся в точке q(t) в момент времени t, имеет вид

(x,y,z,t)

=

e

[x-q

_x

(t)]

[y-q

_y

(t)]

[z-q

_z

(t)]

=

e

^3[R-q(t)]

.

Покажите, что фурье-образ плотности заряда

_k

=

e

e

^ik·q(t)

.

(9.15)

Легко видеть, что плотность тока j(R,t) равна eq(t)^3[R-q(t)]. Если мы имеем систему зарядов e_i, расположенных в точках q_i(t), то выражения для _k и j_k запишутся в виде

_k

=

 

ⁱ

e

_i

e

^{– ik·q_i(t)}

,

j

_k

=

 

ⁱ

e

_i

q(t)

e

^{– ik·q_i(t)}

.

(9.16)

При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора B равен B_k=4ci(kxa_k), соответствующий коэффициент для вектора E равен E_k=-ik_k– 4a_k, наконец, коэффициент разложения ·E имеет вид ik·E_k=k^2_k, поэтому

k^2

_k

=

4

_k

(9.17)

или _k=4_k/k^2. Функция _k полностью определяется плотностью заряда _k, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, _k.

Задача 9.3. Докажите, что соотношение _k=4_k/k^2 означает следующее: величина _k в любой момент времени t представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность соответствует некоторой совокупности зарядов e_i, отстоящих на расстояние r_i от некоторой точки, то потенциал в этой точке равен