Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Шермер Майкл

Попробуем решить еще одну задачу «3 на 1», подобную верхней, но заменим в ней 0 на 6, чтобы у вас появилось еще одно действие для выполнения:

В данном случае вы просто прибавляете результат умножения 6 х 7, то есть 42, к первой сумме 2240. Так как здесь не нужно запоминать никаких чисел, будет легко сложить 42 и 2240 и получить в итоге 2282.

При решении этой и других задач типа «3 на 1» камнем преткновения может стать удержание в памяти первой суммы (в этом примере число 2240), в то время как вы заняты умножением (здесь 6 х 7). Нет какого-либо магического секрета для запоминания первого числа, но я уверяю вас, что по мере освоения метода

концентрация внимания улучшится, и держать числа в памяти, выполняя параллельно другие операции, станет для вас привычным делом.

Решим еще одну задачу.

Даже если числа большие, сам процесс умножения прост.

Например:

Впервые решая такие задачки, вы должны поглядывать на записи, чтобы напоминать себе начальные условия. Поначалу это нормально. Но со временем попытайтесь избавиться от такой привычки, чтобы научиться держать в памяти всю задачу.

В разделе об умножении типа «2 на 1» мы видели, что примеры, где числа начинаются на пятерку, особенно легкие в решении. То же верно и для задач типа «3 на 1».

Обратите внимание, что всякий раз, когда первый результат умножения получается кратным 1000, следующее действие на сложение уже вовсе не является задачей. Так происходит потому, что вам не нужно запоминать никаких чисел и в дальнейшем порядковый номер тысячи не изменится. Если бы вы решали эту задачу перед кем-то, то могли бы сказать вслух «три тысячи…» с абсолютной уверенностью в том, что это число не превратится в ответе в 4 тысячи. (И в придачу, называя первые цифры, вы создаете иллюзию, будто мгновенно вычислили ответ!) Но даже если вы тренируетесь в одиночестве, проговаривание вслух первых результатов вычисления освобождает часть оперативной памяти, необходимой для продолжения работы над оставшимися действиями для решения задачи типа «2 на 1», ответ на которую вы тоже можете произнести вслух, например, «…триста семьдесят восемь».

Попробуйте данный подход при решении следующей задачи, где множителем выступает 5.

Так как первые две цифры трехзначного числа одинаковые, вы можете произносить ответ параллельно с вычислениями даже без необходимости складывать что-либо! Правда, было бы здорово, если бы все задачки на умножение были такими легкими?

Поднимемся на новый уровень сложности и попробуем решить пару примеров, которые потребуют от нас удержания чисел в уме.

В следующих двух примерах вам нужно держать числа в уме на последнем этапе решения, а не в его начале.

Первое действие для каждой задачи легко выполнить в уме. Сложности возникают при необходимости удерживать в памяти предварительный ответ, параллельно вычисляя итоговый. В первой задаче легко сложить 5400 + 360 = 5760. Но вы будете вынуждены твердить «5760» самому себе, пока умножаете 8 х 9 = 72. Затем надо сложить 5760 и 72. Иногда на этой стадии я начинаю проговаривать ответ вслух еще до ее завершения. Я знаю, что нужно будет держать числа в уме, когда я буду складывать 60 + 72, но я также знаю, что 5700 станет 5800.

Я говорю: «Пять тысяч восемьсот…», затем приостанавливаюсь для сложения 60 + 72 = 132. Поскольку я уже держу числа в уме, я произношу только последние две цифры: «… тридцать два!» А вот и ответ: 5832.

Две следующие задачи потребуют от вас держать в уме два числа, так что их решение может занять больше времени. Но, потренировавшись, вы станете делать это быстрее.

Когда вы впервые принимаетесь за решение таких примеров, повторяйте ответы для каждого действия вслух, параллельно вычисляя остальное. В первой задаче, например, начните с «две тысячи восемьсот плюс пятьсот шестьдесят», проговорив пару раз все это вслух и тем самым закрепив два числа в памяти, пока складываете их. Повторите ответ «три тысячи триста шестьдесят» несколько раз, пока умножаете 9 х 7 = 63. После проговаривайте «три тысячи триста шестьдесят плюс шестьдесят три» вслух до тех пор, пока не вычислите итоговый ответ 3423. Если вы достаточно быстро соображаете, чтобы распознать, что сложение 60 + 63 потребует переноса 1 в старший разряд, то вы в состоянии назвать итоговый ответ на долю секунды быстрее, чем сами это осознаете: «три тысячи четыреста и… двадцать три!»

Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вместо двух.

В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 х 8 = 200), то вы сможете получить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 х 4 = 300, то легко вычислите 975 х 4.

Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собственного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни катанию на велосипеде или печатанию. Это может казаться невозможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наиболее впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычислений. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократно, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался вопросом: насколько большим может быть произведение этих чисел?

Я начал с середины, 10 х 10 (или 10²) равняется 100. Затем я умножил 9 х 11 = 99; 8 х 12 = 96; 7 х 13 = 91; 6 х 14 = 84; 5 х 15 = 75; 4 х 16 = 64 и т. д. и обратил внимание на то, что результат каждый раз уменьшается. И разность между ним и 100 составляет 1, 4, 9, 16, 25, 36… или 1², 2², 3², 4², 5², 6²… (смотри таблицу ниже).

Мое открытие показалось мне удивительным. Затем я опробовал числа, дающие в сумме 26, и получил похожие результаты. Первым делом я вычислил 13² = 169, затем 12 х 14 = 168; 11 х 15 = 165; 10 х 16 = 160; 9 х 17 = 153 и т. д. Как и прежде, разность этих произведений и числа 169 равнялась 1², 2², 3², 4²…