Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Далее построим фазочастотную характеристику фильтра как зависимость фазы в радианах от частоты f в Гц:

> plot([log10(f), phase, f=10..50000], color=black, title= `Фаза в радианах как функция логарифма частоты`);

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) фильтра показана на рис. 11.32.

Рис. 11.32. ФЧХ фильтра на операционном усилителе

На

ФЧХ фильтра можно заметить характерный разрыв, связанный с превышением фазовым углом граничного значения π. Такой способ представления фазового сдвига общепринят, поскольку его изменения стремятся вписать в диапазон от -π до π.

11.3.4. Проектирование цифрового фильтра

Основной недостаток аналоговых активных фильтров, подобных описанному выше, заключается в их малом порядке. Его повышение, за счет применения многих звеньев низкого порядка, ведет к значительному повышению габаритов фильтров и их стоимости. От этого недостатка свободны современные цифровые фильтры, число ячеек которых N даже при однокристальном исполнении может достигать десятков и сотен. Это обеспечивает повышенную частотную селекцию.

Спроектируем фильтр N+1-го порядка класса FIR (Finite Impulse Response или с конечной импульсной характеристикой). Документ, решающий эту задачу, представлен в файле fir.

Каждая из N ячеек временной задержки фильтра удовлетворяет следующей зависимости выходного сигнала у от входного х вида:

Подключим пакет расширения plots, нужный для графической визуализации проектирования:

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Зададим исходные данные для проектирования полосового цифрового фильтра, выделяющего пятую гармонику из входного сигнала в виде зашумленного меандра с частотой 500 Гц:

> N := 64: # Число секций фильтра (на 1 меньше порядка фильтра)

> fs := 10000: # Частота квантования

> fl := 2300: # Нижняя граничная частота

> fh := 2700: # Верхняя граничная частота

> m := 10: # 2^m > N - число точек для анализа

Вычислим:

> Т := 2^m-1;

T := 1023

> F1 : = evalf(fl/fs);

F1 := .2300000000

> F2 := evalf(fh/fs);

F2 = .2700000000

> Dirac(0) := 1: # Функция Дирака

> fp1:=2*Pi*F1: fp2:=2*Pi*F2:

Зададим характеристику полосового фильтра:

> g : = (sin(t*fp2)-sin(t*fp1))/(t*Pi);

Вычислим FIR коэффициенты для прямоугольного окна фильтра

> С := (n) -> limit(g,t=n): h := aray(0..N): N2:=N/2:

> for n from 0 to N2 do h[N2-n]:= evalf(C(n)); n[N2+n] :=

h[M2-n]; od:

Определим массивы входного x(n) и выходного y(n) сигналов:

> х := array(-N..Т): y:= array(0..T):

Установим значение x(n) равным 0 для времени меньше 0 и 1 для времени t>=0.

> for n from -M to -1 do x[n] := 0; od:

> for n from 0 to T do x[n] := Dirac(n); od:

Вычислим временную зависимость для выходного сигнала.

> for n from 0 to Т do y[n] := sum(h[k]*x[n-k], k=0..N); od:

Построим график импульсной характеристики фильтра, отражающей его реакцию на сигнал единичной площади с бесконечно малым временем действия:

> р := [seq{[j/fs, y[j]], j=0..Т)]:

> plot(р, time=0..3*N/fs, labels=[time,output], axes=boxed,

xtickmarks=4, title=`Импульсная характеристика фильтра`, color=black);

Он показан на рис. 11.33. Нетрудно заметить, что эта характеристика свидетельствует об узкополосности фильтра, поскольку его частоты fl и fh различаются не сильно. В этом случае полосовой фильтр по своим свойствам приближается к резонансному, хотя само по себе явление резонанса не используется.

Рис. 11.33. Импульсная характеристика цифрового фильтра

Вычислим АЧХ фильтра, используя прямое преобразование Фурье. Оно, после подготовки обрабатываемых массивов, реализуется функцией FFT:

> ro := array(1..Т+1):io := array(1..Т+1):

> for n from 0 to T do ro[n+1] := y[n]; io[n+1] := 0; od:

> FFT(m,ro,io):

Построим график АЧХ фильтра:

> р := [seq( [j*fs/(Т+1),abs(ro[j + 1]+io[j + 1]*I)], j=0..T/2)]:

> plot(p, frequency=0..fs/2, labels=[frequency,gain], title=`AЧX

фильтра`, color=black);

Он представлен на рис. 11.34. Нетрудно заметить, что и впрямь АЧХ фильтра напоминает АЧХ резонансной цепи — она имеет вид узкого пика. Вы можете легко проверить, что раздвижением частот fl и fh можно получить АЧХ с довольно плоской вершиной и резкими спадами (говорят, что такая характеристика приближается к прямоугольной).

Рис. 11.34. АЧХ цифрового полосового фильтра