Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Рис. 4.35. Примеры, иллюстрирующие решение неравенств

Из приведенных примеров очевидна форма решений — представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области действия неравенства (они указываются словом Open). Всегда разумным является построение графика выражения, которое задает неравенство — это позволяет наглядно убедиться в правильности решения.

Приведем еще несколько примеров решения неравенств в аналитической форме (файл solveu):

> solve(5*х>10,х);

RealRange(Open(2), ∞)

> solve(5*х>=10,х);

RealRange(2, ∞)

> solve(ln(х)>2,х);

Rea1Range(Open(e²), ∞)

> solve(ехр(х)>10,

х);

RealRange(Open(ln(10)), ∞

> solve(a*x>b,{х});

> eqn := abs(z)^2/(z+1) < ехр(2)/(ехр(1)-1);

> solve(eqn, {z});

> eqn := ехр(х)*х^2 >= 1/2;

> solve(eqn, {x});

> eqns := abs((z+abs(z+2))^2-1)^2 = 9;

eqns := |(z +|z + 2|)² - 1|² = 9

> solve(eqns, {z});

{z = 0 }, { z ≤ -2}

> eqns := { х^2<1, у^2<=1, х+у<1/2 };

eqns:={х² < 1, y² ≤ 1, х + y < ½}

> solve(eqns, {x, у});

{y ≤ 1, -1 ≤ y, x+y < ½, -1 < x, x < 1}

В последнем примере показано решение системы неравенств. При этом выдаются области определения нескольких переменных.

4.8.9. Решение функциональных уравнений

Решение функционального уравнения, содержащего в составе равенства некоторую функцию f(х), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать функцию solve, что демонстрируют приведенные ниже примеры (файл solvefe):

> A:=solve(f(х)^2-х+1,f);

А := proc(x) RootOf(_Z^ 2 -х + 1, label =_L7) end proc

> convert(A(x),radical);

> allvalues(%);

> B:=solve(f(x)*x=ln(x^2),f);

В := proc(x) ln(x^2)/x end proc

> convert(B(x),radical);

> C:=solve(f(x)*х^2=а*х^2+b*х+с, f);

C := proc(x) (ax×x^2 + bx×x + c)/x^2 end proc

> convert(C(x),radical);

4.8.10.

Решение уравнений с линейными операторами

Maple позволяет решать уравнения с линейными операторами, например, с операторами суммирования рядов и дифференцирования. Ограничимся одним примером такого рода (файл solvefo):

> S := sum((a+b*exp(x[i])-y[i])^2, i=0..n);

> eqns := {diff(S, a), diff(S,b)};

> solve(eqns, {a, b});

4.8.11. Решение в численном виде — функция fsolve

Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в формате вещественных чисел удобно использовать функцию

fsolve(eqns, vars, options)

Эта функция может быть использована со следующими параметрами:

complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме; fulldigits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией Digits;

maxsols=n — задает нахождение только n корней;

interval — задается в виде а..b или х=а..b или {x=a..b, y=c..d, …} и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.

Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры (файл fsolve):

> fsolve(sin(х)=Pi/4,х);

.9033391108

> fsolve(sin(х)=1/2,х=4..8);

6.806784083

> fsolve(2*х^2+х-1=10,x);

– 2.608495283, 2.108495283

> fsolve(х^5-х,x);

– 1., 0., 1.000000000

> fsolve(х^5-х,x,complex);

– 1.000000000, -1.000000000 I, 0., 1.000000000 I, 1.000000000

> eqns := abs(x)*x+exp(x) > 0;

eqns:= 0 <|x|x +e^x

> solve(eqns, {x});

{-2 LambertW(½)<x}

> f := sin(x+y) — exp(x)*y = 0: g := x^2 - у = 2:

fsolve{{f,g},{x,y},{x=-1..1,y=-2..0});

{x = -.6687012050, у = -1.552838968}

Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в обычном применении. В последнем из приведенных примеров дается решение системы нелинейных уравнений, представленных уравнениями f и g.