Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Чтобы еще раз показать различие между функциями solve и fsolve, рассмотрим пример решения с их помощью одного и того же уравнения erf(x) = 1/2:

> solve(erf(х)=1/2,х);

RootOf(2 erf(_Z) -1)

> fsolve(erf(x)=1/2);

.4769362762

Функция solve в этом случае находит нетривиальное решение в комплексной форме через функцию RootOf, тогда как функция fsolve наводит обычное приближенное решение.

Мы уже отмечали, что функция solve дает решение уравнения ехр(-х) = х в форме специальной функции Ламберта. Нетрудно заметить,

что функция fsolve дает результат сразу в форме числа с плавающей точкой:

> restart;eq:=exp(-х)=х;sol:=fsolve(ехр(-х)=х,х);

eq: = e^(-x) = х

sol: =0.5671432904

4.8.12. Решение рекуррентных уравнений — rsolve

Функция solve имеет ряд родственных функций. Одну из таких функций — fsolve — мы рассмотрели выше. В справочной системе Maple можно найти ряд и других функций, например rsolve для решения рекуррентных уравнений, isolve для решения целочисленных уравнений, msolve для решения по модулю m и т.д. Здесь мы рассмотрим решение уравнений важного класса — рекуррентных. Напомним, что это такие уравнения, у которых заданный шаг решения находится по одному или нескольким предшествующим шагам.

Для решения рекуррентных уравнений используется функция rsolve:

rsolve(eqns, fens)

rsolve{eqns, fens, 'genfunc'(z))

rsolve(eqns, fens, 'makeproc')

Здесь eqns — одиночное уравнение или система уравнений, fens — функция, имя функции или множество имен функций, z — имя, генерирующее функциональную переменную.

Ниже представлены примеры применения функции rsolve (файл rsolve):

> restart;

> rsolve(f(n)=-2*f(n-1)-f(n-2), f(k));

(-f(0) -f(1))(k + 1)(-1)^k +(f(1) +2f(0))(-1)^k

> rsolve({f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(1..2)=1), {f});

{f(w) = -3(-1)ⁿ +(-2)ⁿ}

> rsolve({y(n)=n*y(n-1), y(0)=1),y);

Г(n + 1)

> rsolve((y(n)*y(n-1)+y(n)-y(n-1)=0,у(0)=a},y);

> rsolve({F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(1..2)=1),F, 'genfunc'(x));

> rsolve({y(n+1)+f(n)=2*2^n+n, f(n+1)-y(n)=n-2^n+3, y(k=1..5)=2^k-1,f(5)=6), {y, f});

{f(n)=n+1, y(n) = 2ⁿ– 1}

А теперь приведем результат вычисления функцией rsolve n-го числа Фибоначчи. Оно задается следующим выражением:

> eq1 := (f(n+2) = f(n+1) + f(n), f(0) = 1, f(1) = 1};

eq1 := {f(n+2) = f(n+1)+f(n), f(0) = 1, f(1) = 1}

В нем задана рекуррентная формула для числа Фибоначчи — каждое новое число равно сумме двух предыдущих чисел, причем нулевое и первое числа равны 1. С помощью функции rsolve в Maple 9.5 можно получить поистине ошеломляющий результат:

> a1:=rsolve(eq1, f);

Числа Фибоначчи — целые числа. Поэтому представленный результат выглядит как весьма сомнительный. Но на самом деле он точный и с его помощью можно получить числа Фибоначчи (убедитесь в этом сами). Любопытно отметить, что решение в Maple8 заметно отличается от приведенного выше для Maple 9.5. Но только по форме, а не по сути.

4.8.13. Решение уравнений в целочисленном виде — isolve

Иногда бывает нужен результат в форме только целых чисел. Для этого используется функция isolve(eqns, vars), дающая решение в виде целых чисел. Приведем примеры ее применения (файл isolve):

> isolve({2*х-5=3*y});

{x=4 + 3_Z1, у = 1+2_Z1}

> isolve(y^4-z^2*y^2-3*х*z*y^2-х^3*z);

Здесь вывод представлен с помощью вспомогательных переменных _Z1.

4.8.14. Функция msolve

Функция msolve(eqns,vars,m) или msolve(eqns,m) обеспечивает решение вида Z mod m (то есть при подстановке решения левая часть при делении на m дает остаток, равный правой части уравнения). При отсутствии решения возвращается объект NULL (пустой список).

Ниже даны примеры использования функции msolve (файл msolve):

> msolve{{3*х-4*y=1,7*х+y=2},12);

{y = 5, х = 3}

> msolve(2^i=3,19);

{i = 13 + 18 _ZI~}

> msolve(8^j=2,х,17);

{j = 3 + 8х}

На этом мы завершаем рассмотрение функций системы Maple 9.5 для решения уравнений, неравенств и систем с ними.

4.9. Применение пакета расширения student

4.9.1. Функции пакета student

Пакет student — это, несомненно, один из пакетов, наиболее привлекательных для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, которые студенты университетов и иных вузов обычно используют на практических занятиях, при подготовке курсовых и дипломных проектов. Пакет вызывается командой:

> with(student);

Ниже представлено назначение функций этого пакета, включая некоторые функции из его более ранних версий:

D — дифференциальный оператор;

Diff — инертная форма функции вычисления производной;

Doubleint — инертная форма функции вычисления двойного интеграла;

Int — инертная форма функции интегрирования int;

Limit — инертная форма функции вычисления предела limit;

Lineint — инертная форма функции вычисления линейного интеграла lineint;