Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

– 1.5719966508305

В последнем примере показано вычисление по представлению методом Симпсона.

4.10. Работа с алгебраическими кривыми

4.10.1. Пакет для работа с алгебраическими кривыми algcurves

Для работы с алгебраическими кривыми служит пакет расширения algcurves. Он загружается командами:

> restart;with(algcurves);

Ввиду важности функций пакета приведем полную форму

записи и назначение наиболее важных функций этого пакета:

Weierstrassform(f,x,y,x0,y0,opt) — вычисление нормальной формы для эллиптических или гиперболических алгебраических кривых;

differentials(f, x, у, opt) — голоморфные дифференциалы алгебраических кривых;

genus(f,x,y,opt) — подлинность алгебраической кривой;

homogeneous(f,x,y,z) — создание полинома двух переменных, гомогенного в трех переменных;

homology(f, х, у) — находит канонический гомологический базис по алгоритму Треткоффа;

integral_basis(f, х, у, S) — интегральный базис алгебраического поля функции;

is_hyperelliptic(f, х, у) — тестирует кривую на ее принадлежность к гиперболической;

j_nvariant(f,x,y) — j-инвариант алгебраической кривой;

monodromy(f, х, у, opt) — вычисляет монодромию алгебраической кривой;

parametrization(f,x,y,t) — находит параметризацию для кривой с родом (даваемым функцией genuc), равным 0;

periodmatrix(f, х, у, opt) — вычисляет периодическую матрицу кривой;

plot_knot(f,x,y,opt) — строит узел — несамопересекающуюся замкнутую кривую в трехмерном евклидовом пространстве;

puiseux(f,x=p,y,n,T) — определяет Пуизе-расширение алгебраической функции (может иметь и более простые формы записи);

singularities(f,x,y) — анализирует кривую на сингулярность.

4.10.2. Примеры работы с алгебраическими кривыми

Приведем также примеры применения функций пакета Algcurves (файл algcurve):

> Weierstrassform((y^2-1)^2+x*(x^2+1)^2, x,y,x0,y0);

> f:=у^3+х^3*у^3+х^4;

f := y³ + y³x³ + x⁴

> differentials(f, х, у);

> differentials(f,x,у,skip_dx);

[x², yx, yx²]

> nops(%);

3

> genus(f, x, y);

3

> homogeneous(f, x, y, z);

x⁴z² +y³x³ +у³x³

> g := y^3-х*y^2+2*2^(1/2)*y^2+х^2-2*2^(1/2)*х+2+y^6;

g := y³– xy² + 2√2 у² + x²– 2√2x + 2 + y⁶

> integral_basis(g,x,y);

> is_hyperelliptic(f, x, y);

false

> f1:=у^2+х^5+1:is_hyperelliptic(f1, x, y);

true

> j_invariant(g,x,y);

> parametrization(х^4+y^4+а*х^2*y^2+b*y^3,х,y,t);

> Z := periodmatrix(f1,х,у,Riemann);

4.10.3. Построение алгебраических кривых класса knot

Функция plot_knot позволяет строить одну или несколько алгебраических кривых — узлов. Пример построения целого семейства узлов показан на рис. 4.37.

Рис. 4.37. Семейство узлов

Для лучшего обзора таких кривых рекомендуется воспользоваться возможностью вращения трехмерных фигур мышью для уточнения угла, под которым рассматривается фигура — в нашем случае семейство алгебраических кривых.

Начиная с версии Maple 7 в пакет расширения Algcurves добавлена новая функция импликативной графики plot_real_curve. Она строит алгебраическую кривую для действительной части полиномиального выражения и записывается в виде:

plot_real_curve(р, х, у, opt)

Функция имеет следующие параметры:

p — полиномиальное выражение переменных x и у задающее алгебраическую кривую;

opt — параметр, который может быть записан в форме приведенных ниже выражений:

showArrows=true или false — задает показ стрелок касательных или перпендикулярных к точкам вдоль кривой (по умолчанию false);

arrowIntervalStep=posint — задает число точек, пропускаемых до показа очередной пары стрелок (по умолчанию 10);

arrowScaleFactor=positive — задает масштаб для длины стрелок (по умолчанию 1);

colorOfTangentVector=с — задает цвет касательных стрелок, по умолчанию заданный как зелёный, COLOR(RGB,0,1.0);

colorOfNormalVector=с — задает цвет перпендикулярных стрелок, по умолчанию заданный как красный, COLOR(RGB,1,0,0);

colorOfCurve=с — задает цвет кривой, по умолчанию заданный как синий, COLOR(RGB, 0, 0, 1);

eventTolerance=positive — задает погрешность при представлении сингулярных точек (по умолчанию 0,01).