Математические чудеса и тайны
Шрифт:
Глава шестая. ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ФИГУР. РАЗДЕЛ II
Парадокс шахматной доски
В близкой связи с парадоксами, рассмотренными в предыдущей главе, находится другой класс парадоксов, в котором «принципом скрытого перераспределения» объясняется таинственное исчезновение или появление площадей. Один из самых старых и самых простых примеров парадоксов этого рода приведен на рис. 57.
Шахматная доска разрезается наискось, как это изображено на левой половине рисунка, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это
Первоначальная площадь равнялась 64 квадратным единицам, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?
Ответ состоит в том, что наша диагональная линия проходит несколько ниже левого нижнего угла клетки, находящейся в правом верхнем углу доски.
Благодаря этому отрезанный треугольник имеет высоту, равную не 1, а 1 1/7. И, таким образом, высота равна не 9, а 9 1/7 единицам. Увеличение высоты на 1/7 единицы почти незаметно, но, будучи принято в расчет, оно приводит к требуемой площади прямоугольника в 64 квадратные единицы.
Парадокс становится еще более поразительным, если вместо шахматной доски взять просто квадратный лист бумаги без клеток, так как в нашем случае при внимательном изучении обнаруживается неаккуратное смыкание клеток вдоль линии разреза.
Связь нашего парадокса с парадоксом вертикальных линий, рассмотренным в предыдущей главе, становится ясной, если проследить за клетками у линии разреза. При продвижении вдоль линии разреза вверх обнаруживается, что над линией части разрезанных клеток (на рисунке они затемнены) постепенно уменьшаются, а под линией постепенно увеличиваются. На шахматной доске было пятнадцать затемненных клеток, а на прямоугольнике, получившемся после перестановки частей, их стало только четырнадцать. Кажущееся исчезновение одной затемненной клетки есть просто другая форма рассмотренного выше парадокса. Когда мы отрезаем и затем перемешаем маленький треугольничек, мы фактически разрезаем часть А шахматной доски на два куска, которые затем меняются местами вдоль диагонали.
Для головоломки важны только клетки, прилежащие к линии разреза, остальные же никакого значения не имеют, играя роль оформления. Однако присутствие их меняет характер парадокса. Вместо исчезновения одной из нескольких маленьких клеток (или несколько более сложной фигуры, скажем, игральной карты, человеческого лица и т. п., которую можно было начертить внутри каждой клетки) мы сталкиваемся здесь с изменением площади большой геометрической фигуры.
Парадокс с площадью
Вот еще один парадокс с площадью. Меняя положение частей А и С, как показано на рис. 58, можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадратных единиц в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 квадратные единицы, получая, таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы. Как и в предыдущем парадоксе, здесь играют роль только клетки, примыкающие к линии разреза. Остальные нужны лишь как оформление.
В этом парадоксе существуют два существенно различных способа разрезывания фигуры на части.
Можно начать с большого прямоугольника размером 3x10 единиц (верхняя часть рис. 58), аккуратно проводя в нем диагональ, тогда два меньших прямоугольника (нижняя часть рис. 58) будут на 1/5 единицы короче своих кажущихся размеров.
Но можно также начать с фигуры, составленной из двух аккуратно начерченных меньших прямоугольников размером 2x6 и 4x5 единиц; тогда отрезки, соединяющие точку X с точкой У и точку У с точкой Z, не будут составлять прямую линию. И только потому, что образуемый ими тупой угол с вершиной в точке У весьма близок к развернутому, ломаная ХУZ кажется прямой линией. Поэтому фигура, составленная из частей малых прямоугольников, не будет в действительности прямоугольником, так как эти части будут слегка перекрываться вдоль диагонали. Парадокс с шахматной доской, так же как и большая часть других парадоксов, которые мы собираемся рассмотреть в этой главе, тоже могут быть представлены в двух вариантах. В одном из них парадокс получается за счет незначительного уменьшения или увеличения высоты (или ширины) фигур, в другом — за счет прироста или потери площади вдоль диагонали, вызываемых либо перекрыванием фигур, как в только что рассмотренном случае, либо появлением пустых мест, с чем мы вскоре встретимся.
Меняя размеры фигур и наклон диагонали, этому парадоксу можно придать самое различное оформление. Можно добиться потери или прироста площади в 1 квадратную единицу или в 2, 3, 4, 5 единиц и т. д.
Конечно, чем дальше вы зайдете, тем легче будет обнаружить, куда деваются недостающие квадраты.
Вариант с квадратом
В одном изящном варианте исходные прямоугольники размером 3x8 и 5x8 единиц, будучи приставлены друг к другу, образуют обычную шахматную доску в 8X8 клеток. Эти прямоугольники разрезаются на части, которые после перераспределения образуют новый большой прямоугольник с кажущимся приростом площади в одну квадратную единицу (рис. 59).
Суть парадокса состоит в следующем. При аккуратном построении чертежа квадрата строгой диагонали большого прямоугольника не получается. Вместо нее появляется ромбовидная фигура, настолько вытянутая что стороны ее кажутся почти слившимися. С другой стороны, при аккуратном проведении диагонали большого прямоугольник; высота верхнего из двух прямоугольников, составляющих квадрат, будет чуть больше, чем это должно быть, а нижний прямоугольник — чуть шире. Заметим, что неаккуратное смыкание частей фигуры при втором способе разрезывания больше бросается в глаза, чем неточности вдоль диагонали в первом; поэтому первый способ предпочтительнее. Как и в ранее встречавшихся примерах, внутри клеток, рассеченных диагональю, можно рисовать кружочки, физиономии или какие-нибудь фигурки; при перестановке составных частей прямоугольников этих фигурок будет становиться одной больше или меньше.
Числа Фибоначчи
Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 59 и 60), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Расположение частей, иа которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.
Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.
Если, например, взять квадрат в 13x13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 60. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.