Математические чудеса и тайны
Шрифт:
Проблема завязывания узлов
Вот еще одна довольно известная головоломка топологического характера: как завязать на платке узел, не выпуская из рук его концов. Это можно сделать так. Скрутите платок жгутом и положите его на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в этом положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу платка каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине платка сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и носовой платок образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного»
При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.
Занимательный вариант этой головоломки можно демонстрировать с помощью шнура, шарфа или галстука. Уложите, например, галстук на столе так, как это изображено на рис. 22.
Возьмите конец В правой рукой и попросите зрителя внимательно следить за тем, как вы завязываете узел. Пропустите теперь левую руку под конец В ладонью вниз (рис. 23),
а затем выверните ее назад, как это показано на рис. 24,
и подберите конец А. После того как вы разведете руки, на галстуке получится узел. Как ни странно, но такие движения довольно трудно воспроизвести. Вы можете снова и снова показывать фокус присутствующим, но когда они попытаются проделать его сами, узлы завязыцаться не будут.
Шнуры и бечевки
Фокусы со шнуром или бечевкой
Показывающий раскладывает на столе шнур замысловатым образом, а зритель пытается поставить внутрь одной из образовавшихся петель свой палец так, чтобы он оказался захваченным, когда фокусник начнет стягивать шнур со стола. Существует много остроумных способов укладки шнура, позволяющих фокуснику быть хозяином в этой игре, т. е. либо захватывать палец зрителя, либо оставлять его свободным, независимо от того, куда зритель поставит его.
На рис. 25 дан простейший вариант с двумя петлями.
Независимо от того, какую из них, А или В, изберет зритель, показывающий может дать ему выиграть или проиграть, собирая тем или иным способом концы шнура.
На рис. 25 эти два способа указаны соответственно стрелками С и D. Этот фокус удобно показывать также при помощи пояса, который сначала складывается вдвое, а затем скручивается в спираль вокруг большого и указательного пальцев (один из которых предварительно вставляется в петлю). Зритель обыкновенно старается уследить за петлей, в которую вначале был поставлен палец показывающего. Однако в какое бы место зритель ни поставил затем свой палец, считая, что он ставит его в петлю, показывающий может стянуть пояс беспрепятственно. Здесь, как и в случае со шнуром, показывающий по желанию может либо свободно стянуть пояс с пальца, либо оставить палец захваченным.
Для показа другого занимательного
Затем по краям узора укладывают газеты, так что видимой остается лишь его внутренняя прямоугольная часть (рис. 27).
Теперь зритель ставит палец и держит его прижатым в любом месте узора. Вопрос состоит в следующем: если убрать одну из газет и потянуть наружу за какую-нибудь часть шнура, бывшую под газетой, будет при этом палец зрителя захвачен шнуром или же он останется свободным? Принимая во внимание сложность узора, а также то, что границы его скрыты под газетой, кажется совершенно невозможным угадать, какие места на ковре будут внутренними по отношению к замкнутой кривой, обозначенной шнуром, а какие внешними. Тем не менее всякий раз показывающий может безошибочно установить, будет палец захвачен шнуром или нет.
Для другого варианта этой головоломки нужна дюжина или более простых булавок. Показывающий быстро и, как кажется, совсем наугад располагает их в различных местах видимой части узора, пока ими не будет утыкан весь прямоугольник. Затем шнур стягивается с ковра и все булавки остаются свободными. Можно взять одну булавку, отличающуюся по своему цвету (или размеру) от остальных, и поместить ее на узоре так, что после стягивания шнура с ковра она останется единственной захваченной в петлю, в то время как все остальные будут свободны. Можно предложить еще один вариант, когда все булавки размещаются внутри замкнутой кривой. В этом случае стягиваемый шнур образует петлю, окружающую все булавки.
Все эти головоломки основаны на нескольких простых правилах. Если какие-нибудь две точки лежат внутри кривой, образуемой шнуром, то соединяющая их воображаемая линия пересекает эту кривую четное число раз. То же самое справедливо и в случае, когда обе точки лежат вне кривой. Но если одна точка лежит внутри, а другая вне кривой, то соединительная линия всегда дает нечетное число пересечений.
Перед тем как будут положены газеты, выделите мысленно на узоре вблизи его середины какую-нибудь точку, внешнюю по отношению к кривой. Это нетрудно сделать, проведя, например, воображаемую линию от какой-нибудь точки вне узора по направлению к середине.
Вы можете, например, запомнить точку А на рис. 27.
Теперь, даже при закрытых газетами границах узора, для вас не составит труда определить, будет интересующая вас точка внутренней или внешней.
Для этого нужно лишь провести воображаемую линию (она не обязательно должна быть прямой, хотя, конечно, прямую линию представить легче всего) от требуемого места к точке, о которой вы знаете, что она внешняя, и заметить, будет число пересечений четным или нечетным.
Метод демонстрации всех вариантов, описанных выше, прост. Дюжину булавок можно быстро разместить вне замкнутой кривой следующим образом.