Математический аппарат инженера
Шрифт:
– 67 -
В алгебре высказываний используются еще две операции: импликация х1– > x2, соответствующая связке «если, то» и эквиваленция х1 ~ x2, соответствующая связке «если и только если». Они задаются следующими таблицами:
В нашем примере импликацией будет высказывание: «Если пойду в театр, то встречу друга», а эквиваленцией – пойду в театр, если и только если встречу друга». Как видно из таблиц, импликация высказываний ложна только в случае, когда первое из простых высказываний истинно,
Обозначив буквами простые высказывания, можно представить сложное высказывание формулой с помощью соответствующих связок. Например, высказыванию «Если давление масла на шарик клапана больше усилия его пружины (х1), то масло открывает клапан (х2) и частично перетекает из нагнетательной полости во впускную (х3)» соответствует формула х1 – > х2 х3.
9. Предикаты. Обычно высказывания выражают свойства одного или нескольких объектов. Содержательная часть высказывания играет роль определяющего свойства совокупности объектов, для которых это высказывание истинно, и называется предикатом. Например, высказывание «Иванов - отличник» истинно или ложно в зависимости от оценок, которые имеет данный студент. В то же время предикат «х - отличник» определяет подмножество отличников на некотором множестве студентов (группа, курс, факультет). Подставив вместо х фамилии студентов, получим множество высказываний. Совокупность истинных высказываний и будет соответствовать подмножеству отличников.
Предикат представляет собой логическую функцию Р(х), принимающую, как и булевы функции, значение 0 или 1, но в отличие от них, значения аргумента х выбираются из некоторого множества М объектов (х М). В общем случае такая функция может зависеть от многих аргументов х1, х2, . . .,хn, принимающих значения из одного и того же или различных множеств. Ее записывают Р(х1, х2, ...,хn) и называют n-местным предикатом. Например: «х - четное число», «х - компонент цепи» - одноместные предикаты Р(х);
– 68 -
«х брат у», «х меньше у» — двуместные предикаты Р(х, у); «х и у - родители z»,
«х - сумма y и z» - трехместные предикаты Р(х, y, z) и т. д. Если аргументы х1, х2, ... ,хn замещены конкретными значениями (объектами), то предикат переходит в высказывание, которое рассматривают как 0 - местный предикат.
Так как предикаты способны принимать только значения 0 и 1, то их, как и булевы переменные, можно связывать логическими операциями. В результате получаем формулы, определяющие более сложные предикаты. Так, если Р(х) означает «х - инженер», а Q(х) - «x - сотрудник нашего отдела», то Р(х) Q(х) = R(х) есть одноместный предикат «х - инженер и сотрудник нашего отдела» или проще «х - инженер нашего отдела». Очевидно, если Р - множество инженеров, а 0 - множество сотрудников данного отдела, то этот предикат соответствует пересечению Р Q. Таким образом, имеет место тесная связь между логикой предикатов и операциями над множествами.
10. Двоичная арифметика. В позиционной системе счисления с основанием m любое целое неотрицательное число a записывается последовательностью различных цифр x1x2 ... xn, что означает a = x1mn-1 + x2mn-2 + ... + xnm0. Десятичная система использует цифры 0, 1, ..., 9, например: 2907 = 2·103 + 9·102 + 0·101 + 7·100. Для двоичной системы счисления достаточно двух цифр, которые обозначаются 0 и 1. При этом последовательность x1x2 ... xn таких цифр является записью двоичного n-разрядного
Перевод целых десятичных чисел в двоичные осуществляется последовательным делением исходного числа и каждого частного на два. Получаемые при этом остатки (0 или 1), записанные в обратном порядке, и дают представление десятичного числа в двоичной системе счисления. Например:
Действительно, проверяя полученный результат, получаем 1·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 16 +8+2 = 26.
Дробное число переводится в двоичную систему счисления методом последовательного умножения на два. При этом каждый раз
– 69 -
после запятой двоичного числа записывается 0 или 1 соответственно целой части результата умножения. Последовательное умножение продолжается до тех пор, пока дробная часть не обратится в нуль или пока не получим требуемое количество двоичных знаков после запятой. Например, двоичное представление числа 0,3125 получается следующим образом:
Проверка полученного результата дает: 0·2– 1 + 1·2– 2 + 0·2– 3 + 1·2– 4 = 1/4 +1/16 = 5/16 = 0,3125.
Если число является смешанным, т.е. его целая и дробная части отличны от нуля, то оно переводится в двоичную систему раздельно: целая часть- последовательным делением, а дробная — последовательным умножением.
Арифметические операции над числами сводятся к операциям сложения и умножения одноразрядных чисел. В двоичной системе счисления умножение задается таблицей конъюнкции: 0·0=0; 1·0=0; 0·1=0 и 1·1=1. Сложение выполняется по правилу: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 0+1=1 и 1+1=10 (10 — это двоичное число, соответствующее десятичному числу 2). Операции над двоичными числами выполняются по правилам, аналогичными для десятичных чисел, но эти правила предельно упрощаются (особенно для умножения). Например, десятичные операции 41 + 27 = 68 и 41·5= 205 выглядят следующим образом:
– 70 -
Как видно, умножение двоичных чисел сводится к сложению чисел, образованных сдвигом влево первого сомножителя. Поразрядное сложение осуществляется в соответствии с таблицей
причем в случае x1 = x2 = 1 образуется единица переноса в старший разряд. Операция, задаваемая этой таблицей, называется сложением по модулю 2. Если при сложении перенос не учитывается, то эта операция вместе с операцией умножения определяет на множестве двоичных чисел арифметику по модулю 2.
Задачи и упражнения
1. Подстановкой в формулу a b переменных запишите новые формулы и упростите их, если это возможно: а) a = xy, b = z. б) a = xy, b = xy; в) a = x, b = xy; г) a = x, b = xy; д) a = xy, b = c d, c = xz, d = yz.
2. Запишите таблицы соответствия для следующих формул: а) xx; б) xy x; в) (p q)(p q); г) xy.
3. Проверьте с помощью таблиц соответствия следующие тождества: а) xy = x y; б) x ( x y) = x; в) x x y = x y.