Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

Алгебраические операции над множествами и их свойства излагаются с применением кругов Эйлера и диаграмм Венна, а бинарные отношения иллюстрируются на матрицах и графах. Благодаря этому основные понятия теории множеств получают наглядное представление в привычной для инженера графической или табличной форме.

Центральное место в этой главе занимает теория отношений, которая оказалась простым и удобным аппаратом для самых разнообразных задач. На ее основе обобщается понятие функции, применимое не только к числовым множествам, но и к множествам объектов любой природы. Особо выделяются три типа бинарных

отношений: эквивалентность, упорядоченность и толерантность, которые наиболее часто встречаются в практике.

Большое значение в математике имеют отношения, называемые законами композиции, которые ставят в соответствие паре каких-либо элементов третий элемент из одного и того же или из различных множеств. Определяя не некотором множестве один или два таких закона и наделяя их некоторыми свойствами, получаем различные алгебраические системы: группы, кольца, поля, тела и т.д. Эти и подобные им абстрактные понятия являются обобщениями самых разнообразных объектов исследования как в самой математике, так и в специальных областях науки и техники. В качестве примеров рассматриваются наиболее интересные с прикладной точки зрения алгебраические системы (группы подстановок, кольцо многочленов, тело кватернионов, поле комплексных чисел и др.).

– 85 -

Результатом далеко идущих обобщений обычного трехмерного пространства явилось понятие абстрактного пространства, которое в самом общем виде определяется как некоторое множество с заданными на нем отношением или законами композиции. Конкретизация множеств, свойств отношений и законов композиции приводит к различным типам пространств: метрическим и топологическим, линейным и евклидовым и т.д.

В заключительном параграфе настоящей главы излагаются основные понятия и методы комбинаторики. Ее основная задача состоит в исследовании расположения, упорядочения или выборки элементов конечных множеств в соответствии со специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть сделано. Комбинаторные методы находят все более широкое применение в инженерном деле, например, при решении транспортных задач, составлении расписаний, планировании производства, организации снабжения и сбыта, статистических методах контроля, составлении и декодировании шифров для передачи сообщений и т.п.

Восприятие использование абстрактного языка теории множеств и других разделов современной математики позволяют объединять и исследовать с единых позиций такие понятия и явления, которые ранее казались далекими и различными. При этом важно уметь применять к реальным явлениям те математические понятия и методы, которые наиболее близки к ним, и научиться за общими абстрактными понятиями видеть конкретные образы окружающего мира.

1. Алгебра множеств

1. Свойства операций над множествами. Операции над множествами, сформулированные в (1.2.7), как и операции над числами, обладают некоторыми свойствами (табл. 1). Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.

Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1б)-(3б) — те же законы для пересечения. Соотношения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества и универсума U относительно объединения, а соотношения (4б) — (7б) — относительно пересечения.

Выражения (8а) и (8б), называемые

законами идемпотентности, позволяют записывать формулы с множества без коэффициентов и показателей степени. Зависимости (9а) и (9б) представляют законы поглощения, а (10а) и (10б) — теоремы де Моргана.

– 82 -

Таблица 1

Основные свойства операций над множествами

1 а) A B = B A

1 б) A B = B A

2 а) A (B C)=(A B) C

2 б) A (B C)=(A B) C

3 а) A (B C)=(A B) (A C)

3 б) A (B C)=(A B) (A C)

4 а) A = A

4б) A U = A

5 а) A A = U

5 б) A A =

6а) A U = U

6 б) A =

7 а) = U

7 б) U =

8а) A A = A

8 б) A A = A

9 а) A (A B) = A

9 б) A (A B) = A

10 а)

10 б)

11) если A B =U и A B = , то B = A

12) A = U \ A

13) A = A

14) A \ B = A B

15) A + B = (A B) (A B)

16) A + B = B + A

17) (A + B) + C = A + (B + C)

18) A + = + A = A

19) A B, если и только если A B = A или A B = B или A B =

20) A = B, если и только если (A B ) (A B ) =

Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, разности, дизъюнктивной суммы, включения равенства.

2. Принцип двойственности. Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: на и на , а также на U и U на . Соответствующие пары символов , и , U называются двойственными (дуальными) символами.

При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальными получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождества (11) и (12) не изменяются при замене символов дуальными, поэтому их называют самодвойственными.

Принцип дуальности можно распространить на разность и дизьюктивную сумму, если использовать тождества (14) и (15). Аналогично

– 87 -

в соответствии ...........

– !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
–

– Продолжение следует...
–

– Содержание продолжения -

...

2. Отношения

3. Отображения и функции

4. Отношение эквивалентности

5. Отношение порядка