Математический аппарат инженера
Шрифт:
4. Постройте переключательные схемы для обеих частей приведенных ниже тождеств и убедитесь в том, что эти схемы функционируют одинаково:
а) xyxyxy=y xy
б) (xy)(xz) = x yz;
в) xyzxyzxy = x.
5. Упростите следующие формулы:
а) xyzxyzxyz;
б) xyzxyz(zvx);
в) xyzxyzxyzxyz;
г) (xy)(xyz)z(xy)(uv).
6. Комитет, состоящий из трех членов, принимает решения большинством голосов. Постройте такую схему, чтобы голосование каждого члена комитета производилось нажатием своей кнопки и чтобы лампочка загоралась, если и только если решение принято. Какое наименьшее количество ключей необходимо?
7. Постройте схему
– 71 -
8. Преобразуйте формулы к такому виду, чтобы операция отрицания применялась только к логическим переменным:
9. Убедитесь с помощью таблиц соответствия в справедливости выражений для импликации и эквиваленции:
а) x1– > x2 = x1x2;
б) x1 ~ x2 = x1x2 x1x2 = (x1x2)(x1x2);
в) x1 ~ x2 = ( x1– > x2 )( x2– > x1 ).
10. Постройте переключательные схемы для импликации и эквиваленции в соответствии с тождествами, приведенными в задаче 9.
11. Запишите формулу, соответствующую переключательной схеме рис. 25. Упростите эту формулу и постройте более простую схему.
Рис. 25. Граф переключательной схемы к задаче 11.
12. Постройте переключательные схемы по формулам:
а)(x1 x2x3)(x1x2 x3x4)
б) (x1 (x2 x3) x4)x1.
13. Из простых высказываний x1– «испытания проведены» и x2– «программа выполнена» образуйте сложные высказывания по формулам а) x1x2; б) x1x2; в) x1– > x2 ; г) x1 ~ x2.
14. Запишите формулы для следующих высказываний, обозначив буквами входящие в них простые высказывания:
а) Давление падает и система не работает.
б) Вычисления выполнены точно или конструкция несовершенна.
в) Проект разработал Андрей или Петр, а эксперимента выполнил Иван.
г) Если будет хорошая погода, мы отправимся на стадион или пойдем за грибами.
д) Программа
е) Если я поеду на автобусе, то опоздаю на работу или я воспользуюсь такси.
ж) Андрей помогает Петру или Петр помогает Андрею, или они помогают друг другу.
15. Запишите формулу, соответствующую высказыванию: «Программа будет выполнена тогда и только тогда, когда закончатся испытания и показатели будут удовлетворительны; если программа не будет выполнена, сотрудники не получат премию или будут пересмотрены технические условия».
16. Даны простые высказывания: x1– «идет дождь), x2– «очень жарко».
а) Запишите формулу сложного высказывания «Неверно, что идет дождь и очень жарко».
б) Преобразуйте формулу по закону де Моргана и составьте соответствующее высказывание.
в) Убедитесь в тожественности исходного и преобразованного высказываний.
17. Путешественник остановился у развилки дорог, ведущих в пункты А и В, и ему нужно выяснить, в какой именно пункт ведет каждая из дорог. Находившиеся у развилки два человека заявили, что они могут ответить только на один вопрос и что один из них всегда правдив, а другой лжец. Какой вопрос должен задать путешественник, чтобы в любом случае ответ на него содержал необходимою информацию?
а) Решите задачу путем непосредственных рассуждений без применения алгебры логики.
– 72 -
б) Представьте ситуацию в виде сложного высказывания, составленного из простых.
в) Запишите соответствующую формулу и таблицу соответствия.
г) По таблице соответствия сформулируйте искомый вопрос.
18. Высказывание является логически истинным, если соответствующая ему формула тождественно равна единице, и логически ложным, если формула равна нулю. Определите с помощью таблиц соответствия, каким высказываниям соответствуют приведенные ниже формулы (истинным, ложным или ни тем и не другим): а) p ~ p; б) p -> p; в)(pq) ~ pq; г)(p->q) -> (q -> p); д)(p-> q)-> p; е) ((p-> q)-> p)-> p; ж) pq ~ pq .
19. При x1 = 1; x2 = 0; x3 = 0 и x4 = 1 найдите значения каждой из следующих функций:
20. Пусть X — множество сотрудников отдела и на этом множестве определены относительно переменной x X одноместные предикаты P(x), Q(x), R(x), означающие соответственно: x — занимается спортом, изучает иностранный язык, имеет изобретения. Расшифруйте предикаты, образованные с помощью следующих логических операций: а) P(x) Q(x); б) P(x) Q(x); в) P(x) Q(x); г) Q(x) ~ P(x); д) P(x) ~ (Q(x) R(x)).
21. Пусть V — множество вершин и E — множество ребер графа, причем ребро e E соединяет вершины x,y V. Что означают предикаты P(x,y), Q(e, x, y), R(x,e)?
22. Каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные числа: а) 1011; б) 1000110; в) 110100111?
23. Переведите в двоичную систему счисления десятичные числа: а) 51; б) 64; в) 125; г) 1000.
24. Выполните в двоичной системе следующие операции над десятичными числами: 21 + 37; 31 + 105; в) 25 · 8; г) (8 + 19) · 11; д) 24 · 8 — 17. Проверьте полученные результаты в десятичной системе.