Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

которое часто рассматривается как определение условной вероятности, если каким-либо способом определены P(A B) и P(A). Ясно, что для независимых событий P_A(B) совпадает с P(B).

Вероятность одновременного наступления нескольких зависимых событий выражается формулой

P(A₁, A₂, ... , A_n) = P(A₁)P_A1 (A₂)

которая

получается по индукции из формулы для двух событий.

Здесь

– условная вероятность события A_i, вычисленная при условии, что произошли события A₁, A₂,..., A_i-1.

9. Объединение событий. Простая формула для вероятности появления одного из несовместных событий (6) нуждается в обобщении, если события совместны. Пусть из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют m_A исходов, а событию B — m_B исходов. Так как множества совместных событий пересекаются, то сумма m_A + m_B, кроме исходов, благоприятствующих появлению

– 79 -

одного из событий А или В, дважды учитывает m_AB исходов, благоприятствующих одновременному появлению А и В. Поэтому из общего числа исходов n появлению событий А или В (или обоих вместе) будут благоприятствовать m_A + m_B– m_AB исходов, на основании чего имеем

Эта формула получена из каких-либо ограничений относительно характера событий А и В:

для зависимых событий

P(A B) = P(A) + P(B) -P(A)P_A(B),

для независимых событий

P(A B) = P(A) + P(B) -P(A)(B).

10. Независимость и несовместность. При использовании приведенных соотношений необходимо четко понимать смысл таких свойств событий, как независимость и несовместностью. Условиями независимости событий можно рассматривать каждое из соотношений

P(A B) = P(A) + P(B); P_A(B) = P(B)

Так, при бросании двух игральных костей вероятности событий А(дубль) и В(меньше 6 очков) равны соответственно P(A) = 6/36 = 1/6 и P(B) = 10/36 = 5/18. Одновременному появлению этих событий соответствует подмножество A B = {(1,1),(2,2)} и его вероятность P(A B) = 2/36=1/18. Так как P(A B) B/= P(A)P(B), то рассматриваемые события являются зависимыми. С другой стороны, событие В при условии наступления события А определяется как подмножество {(1,1),(2,2)} основного множества {(1,1),(2,2), (3,3),(4,4}{(5,5),(6,6)}, и P_A(B) = 2/6 = 1/3, т.е. не совпадает с P(B)= 5/18. По соответствующим формулам имеем:

P(A B) = P(A)P_A(B) = 1/6 · 1/3 = 1/18;

P(A B) = P(A) + P(B) — P(A)P_A(B) = 1/6 + 5/18 -1/6 · 1/3 = 7/18.

Очевидно, те же результаты получим, если пример В в качестве дополнительного условия для А. Так как множество {(1,1),(1,2),

– 80 -

(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}, соответствующее событию В, служит основным для события А, то

P_B(A) = 2/10 = 1/5,

и следовательно получаем:

P(A B) = P(B)P_B(A)= 5/18 · 1/5 = 1/18;

P(A B) = P*A) + P(B) — P(B)P_B(A) = 1/6+5/18-5/18· 1/5=7/18.

Общее условие несовместности событий выражается как

P(A B) = 0,

что соответствует A B = .

Так, в рассматриваемом примере A B = {(1,1),(2,2)} /= , следовательно, события А и В совместны.

Независимые события А и В при ненулевых вероятностях P(A) и P(B) всегда совместны. Действительно, из соотношения P(A B) = P(A)(B) имеем P(A B) /= 0, а значит и A B /= , что свидетельствует о совместности независимых событий. Однако совместность событий не обязательно влечет их независимость. Из условия A B /= при P(A B) /= 0 следует лишь, что P(A B) /= 0 и условная вероятность P_A(B) /= 0. Но может иметь место неравенство P_A(B) = P(B), что означает зависимость рассматриваемых совместных событий.

Зависимые события А и В при ненулевых вероятностей P(A) и P(B) могут быть как совместными, так и несовместными. В первом случае A B /= , и поэтому условные вероятности P_A(B) и P_B(A) не равна нулю, т.е. одно из событий может наступить при условии, что произошло другое событие. Во втором случае A B = , следовательно, условные вероятности зависимых и несовместных событий P_A(B) = P_B(A) = 0. Это значит, что пир наступлении события А событие В произойти уже не может, а наступлении события В не может произойти событие А. В то же время из несовместности событий (A B = ) следует их зависимость, что выражается равенством нулю условных вероятностей P_A(B) и P_B(A). Иначе говоря, если события А и В несовместны, то при наступлении одного из них другое произойти не может, т.е. несовместные событие не могут быть независимыми.

Несовместность совокупности событий A₁, A₂, ..., A_n, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия

A_i A_j = (i,j = 1,2,..., n; i /= j).

– 81 -

Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий

P(A_i A_j) = P(A_i)P(A_j) (i,j = 1,2,..., n; i /= j),

должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:

P(A₁ A₂) = P(A₁)P(A₂);

P(A₁ A₃) = P(A₁)P(A₃);

P(A₂ A₃) = P(A₂)P(A₃);

P(A₁ A₂ A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃).

Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A₁, A₂ и A₃ в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.

Задачи и упражнения

1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?

2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?

3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий: