Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Самой влиятельной после пифагорейцев группой мыслителей, расширившей и распространившей учение о математическом плане, лежащем в основе природы, были платоники, возглавляемые, как о том говорит название этой школы, Платоном Афинским. Хотя Платон (427-347 гг. до н.э.) и заимствовал некоторые фрагменты учения пифагорейцев, в достопамятном IV в. до н.э. он был ведущей фигурой духовной жизни Греции. Платон основал в Афинах Академию — центр, который привлек к себе ведущих мыслителей его времени и существовал в течение девяти столетий.
Вера Платона в рациональность устройства Вселенной, вероятно, лучше всего выражена в его диалоге «Филеб»:
Сократ…Начнем же хотя бы со следующего вопроса…
Протарх.С
Сократ.Скажем ли мы, Протарх, что совокупность вещей и это так называемое целое управляется неразумной и случайной силой как придется, или же, напротив, что целым правит, как говорили наши предшественники, ум и некое изумительное, всюду вносящее лад разумение?
Протарх.Какое же может быть сравнение, любезнейший Сократ, между этими двумя утверждениями! То, что ты сейчас говоришь, кажется мне даже нечестивым. Напротив, сказать, что ум ускоряет все, достойное зрелище мирового порядка — Солнца, Луны, звезд и всего круговращения небесного свода; да и сам я не решился был утверждать и мыслить об этом иначе.
Более поздние пифагорейцы и платоники проводили резкое различие между миром вещей и миром идей. Тела и отношения в материальном мире несовершенны, преходящи и тленны, но существует другой, идеальный, мир, в котором истины абсолютны и неизменны. Именно эти истины и надлежит рассматривать философу. О физическом же мире мы можем иметь только мнения. Видимый, чувственный мир не более чем смутная, расплывчатая и несовершенная реализация идеального мира: «вещи суть тени идей, отбрасываемых на экран опыта». Реальность надлежит искать в идеях чувственных, в физических объектах. Платон сказал бы, что в лошади, в доме или в прекрасной женщине нет ничего реального. Реальность заключена в универсальном типе (идее) лошади, дома или прекрасной женщины. Непреходящее знание может быть получено только относительно чистых идеальных форм. Только такие идеи постоянны и неизменны, и знание относительно них прочно и неуничтожимо.
Платон утверждал, что реальность и рациональность физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики идеального мира. То, что идеальный мир устроен на математических началах, не вызывало сомнений. Плутарх приводит знаменитое изречение Платона: «Бог всегда является геометром». В диалоге «Государство» Платон говорит о том, что «знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще». Математические законы платоники считали не только сущностью реальности, но и вечными и неизменными. Числовые отношения также были частью реальности, а скоплениям вещей отводилась роль подобия чисел. Если у ранних пифагорейцев числа были имманентны (внутренне присущи) вещам, то у Платона числа стали трансцендентны вещам.
Платон пошел дальше пифагорейцев в том, что хотел не только понять природу с помощью математики, но и заменить математикой природу. Он считал, что более проницательный взгляд на физический мир дал бы возможность открыть основные истины, которые позволили бы разуму уже самостоятельно достроить все остальное. С момента обнаружения первичных истин дальнейшее было бы чистой математикой. Математика заменила бы физическое исследование.
В «Жизни Марцелла» Плутарх сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит использовали физические соображения для «доказательства» математических истин. Но Платон с негодованием отвергал такие доказательства как подрывающие основы геометрии, ибо они построены не на чистых рассуждениях, а на чувственных восприятиях.
Отношение Платона к астрономии дает ясное представление о том, к какого рода знанию надлежало, по его мнению, стремиться. Астрономия, утверждал Платон, не должна заниматься изучением движений наблюдаемых небесных тел. Расположение светил на небе и их видимые движения достойны всяческого восхищения и поистине прекрасны, но одни лишь наблюдения и объяснения движений далеко еще не составляют истинной астрономии. Дабы достичь истинной астрономии, необходимо «предоставить небеса самим себе», ибо истинная астрономия
Совершенно иную концепцию изучения реального мира и отношения математики к реальности развил Аристотель, хотя он и был учеником Платона и много у Платона почерпнул. Аристотель критиковал Платона за идею о двух различных мирах и за сведение естественных наук к математике. Аристотель был физиком в буквальном смысле этого слова. В материальных телах он видел первичную субстанцию и источник реальности. По Аристотелю, физика и наука в целом должны заниматься изучением физического мира и извлекать истину из этих исследований. Подлинное знание достигается на основе чувственного опыта с помощью интуиции и абстрагирования. Абстракции не существуют независимо от человеческого разума.
Аристотель неоднократно подчеркивал, что универсалии — общие понятия — абстрагированы от реальных вещей. Для получения этих абстракций «мы начинаем с вещей познаваемых и наблюдаемых и переходим к вещам менее наглядным, которые по своей природе более понятны и более познаваемы». Аристотель брал наглядные, чувственные качества вещей, выхолащивал их и возводил до независимых, абстрактных понятий.
Какое место занимала математика в развитой Аристотелем схеме вещей? Основополагающими в схеме Аристотеля были физические науки. Математике отводилась вспомогательная роль в изучении природы при описании таких внешних свойств, как форма и размеры. Кроме того, математика помогала объяснять причины тех явлений, которые можно наблюдать в материальном мире. Так, геометрия может помочь в объяснении наблюдений из области оптики и астрономии, а арифметические пропорции могут служить основой гармонии. Но математические понятия и принципы заведомо являются абстракциями, корни которых уходят в реальный мир. Поскольку же они абстрагированы из реального мира, то они применимы к нему. Человеческий разум обладает особой способностью приходить к таким идеализированным свойствам физических объектов, отправляясь от ощущений, и создаваемые им абстракции с необходимостью должны быть истинными.
Даже нашего беглого обзора взглядов тех философов, которые сформировали духовный мир греков, достаточно, чтобы понять главное: все они подчеркивали необходимость изучения природы для понимания и оценки лежащей в основе всего сущего реальности. Кроме того, со времен пифагорейцев почти все философы утверждали, что природа устроена на математических основах. К концу классического периода окончательно сформировалось учение о природе, основанной на математических принципах, и начался планомерный поиск математических законов. Хотя это учение отнюдь не предопределило все последующее развитие математики, получив достаточно широкое распространение, оно оказало влияние на величайших математиков, в том числе и на тех, кто непосредственно не разделял его. Из всех достижений умозрительных построений древних греков подлинно новаторской была концепция космоса, в котором все подчинено математическим законам, постигаемым человеческим разумом.
Греки преисполнились решимости доискаться до истин и, в частности до истин о математических основах природы. Как следует приступить к поиску истин и как при этом гарантировать, что поиск действительно приводит к истинам? Греки предложили «план» такого поиска. Хотя он создавался постепенно на протяжении нескольких веков (VI-III вв. до н.э.) и историки науки расходятся во мнениях относительно того, когда и кем этот план был впервые задуман, к III в. до н.э. «план поиска истин» был доведен до совершенства.