Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
Хотя в разные годы картографы неизменно терпели неудачу в попытках построить идеальную карту Земли, они не могли доказать, что эта задача не имеет решения. Доказательство принадлежит швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, который изложил приведенные выше рассуждения в работе «О представлении сферической поверхности на плоскости«(De repraesentatione superficiei sphaericae super piano), представленной в Петербургской академии наук в 1775 году и опубликованной в 1778 году в «Журнале Императорской Санкт-Петербургской академии наук».
* * *
ФОРМУЛА СУММЫ УГЛОВ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Пусть дана сфера радиуса R. Ее часть, заключенная между двумя большими кругами (сферический двуугольник), которые пересекаются под углом радиан, имеет площадь, равную площади поверхности сферы, взятой /2 раз, то есть
(/2)·(4R2).
Обозначим
t + a = 2R2
Аналогично имеем:
t + b = 2R2 и t + c = 2R2
Сложив эти три равенства, имеем:
3t + a + b + c = 2R2( + + ).
Получается, что t + а + Ь + с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой вершины, например А, существуют два равных двуугольника с углами ; каждый из них состоит из двух областей площадью t и а). Как следствие,
2t + 2R2 = 2R2( + + ).
Упростив равенство, получим
t = R2( + + — ).
* * *
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)
Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866. В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планировалось, должно было составить 90 томов.
Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие, но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд, посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу не видел парусника своими глазами. С 1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил, что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый ослеп на правый глаз.
В 1741–1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались — монарх дал ученому прозвище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екатерина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отношения. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана именно в этот период.
* * *
Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эйлера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разрежем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости. Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится, в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.
Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например, захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок. Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охватывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выделить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.
Задачу о составлении точной карты Земли картографы стремились решить во все времена. Следуя путем Эйлера, мы доказали, что эта задача не имеет решения. Но если на минуту забыть об этом, можно задаться вопросом: почему построить такую карту невозможно, почему нельзя преобразовать сферу в плоскость с сохранением метрических свойств? Разумеется, если читатель вспомнит наш эксперимент с пластиковым шаром, то придет к выводу: сфера — искривленная поверхность, а плоскость — нет. Однако этот вывод верен лишь отчасти. Цилиндр и конус — также искривленные поверхности, но тем не менее их можно развернуть на плоскости, сохранив при этом метрические свойства. В чем же разница между сферой, цилиндром и конусом? Быть может, их кривизна чем-то отличается или проблема кривизны вообще не так уж и важна? Действительно, не все поверхности искривлены одинаково. Понятие кривизны, применимое к точке поверхности, показывает, насколько далека данная поверхность от плоскости в рассматриваемой точке. Однако кривизну необходимо как-то измерить, выразить количественно.
Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость, касающаяся поверхности в точке р, и нормальный вектор поверхности N(p), выходящий из точки р, перпендикулярный касательной плоскости.
Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это плоскость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором (см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно изучить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального вектора) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифференцированием. Результатом операции будет математический объект под названием дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной геометрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.
Примеры поверхностей, на которых оттенками серого обозначены различные значения кривизны Гаусса и средней кривизны. Плоскость (К = Н = 0), цилиндр с радиусом основания r (К = 0; Н = 1/2r), сфера радиуса r (К = 1/r2, Н = -1/r), псевдосфера (К = -1; наибольшая средняя кривизна ближе к краю псевдосферы, на рисунке оттенками серого представлены значения средней кривизны), тор (на внешней части поверхности кривизна положительная, на внутренней — отрицательная; средняя кривизна для разных участков отличается, оттенками серого на рисунке представлены значения кривизны Гаусса); катеноид (Н = 0; оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса).
Есть и другой, возможно, более геометрический способ определить эти понятия: для данной точки р поверхности S, для которой мы хотим рассчитать кривизну, рассмотрим нормальный вектор N(р) и семейство плоскостей П(р)» проходящих через р и содержащих N(р). Для каждой плоскости семейства П(р) рассмотрим ее линию пересечения с поверхностью S. Этой линией будет кривая, проходящая через р. Измерим кривизну этой кривой в данной точке. Полученное значение и будет мерой кривизны кривой в точке. Таким образом мы получим ряд значений кривизны поверхности в точке р и сможем рассчитать кривизну поверхности. На множестве этих значений кривизны найдем максимальное значение k1 и минимальное значение k2 — так называемые главные кривизны, то есть максимальные и минимальные значения «направленной» кривизны поверхности в точке р. На их основе можно рассчитать кривизну Гаусса и среднюю кривизну: