Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
Полярная стереографическая проекция также применяется при составлении карт областей среднего размера, близких к полюсам: в картах России, Европы или некоторых европейских стран, в частности Швеции, а также в картах Австралии и Северной Америки.
Погодная карта Европы, выполненная в полярной стереографической проекции.
Еще одна разновидность стереографической проекции — экваториальная, в которой точка касания сферы и плоскости проекции, то есть центр карты, находится на экваторе. Эту проекцию использовал арабский математик Аз-Заркали при конструировании астролябии, а для создания карт Земли она начала применяться с XVI века. Старейшая карта в этой проекции, дошедшая до наших дней, — это простая карта двух полушарий,
* * *
АЗ-ЗАРКАЛИ (ОК. 1029–1100)
Абу Исхак Ибрахим ибн Яхья ан-Наккаш аз-Заркали родился в Толедо. Прозвище Арзахель (латинизированный вариант имени «аз-Заркали») означает «голубоглазый». По некоторым источникам, он был подмастерьем в мастерской своего отца и не получил образования (некоторые историки отмечают, что он был неграмотным). Арзахель начал изготавливать измерительные инструменты, в частности астролябии, для астрономов тайфы Толедо и постепенно самостоятельно изучил астрономию. После завоевания Толедо Альфонсо VI в 1085 году аз-Заркали переехал в Кордову, где и умер в 1100 году. Он известен благодаря созданию измерительных инструментов, составлению астрономических таблиц и различным теоретическим исследованиям. Самый известный из созданных им инструментов — заркала, универсальная астролябия, которую можно было использовать на любой широте. Заркала применялась в Европе вплоть до XVI века. Он также сконструировал водяные часы, установленные на берегу реки Тахо, которые позволяли определять время днем и ночью. Аз-Заркали был автором нескольких трактатов по конструированию и применению инструментов, в частности уже упомянутой заркалы, экваториума, армиллярной сферы и других. Исследователь откорректировал астрономические таблицы Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Толедо, создав так называемые Толедские таблицы; он также провел собственные наблюдения и включил в свой «Альманах» исправленные астрономические данные, которые впервые были получены древними греками. Эти данные позволяли определять положение планет, Солнца, Луны и других небесных тел напрямую, не прибегая к объемным вычислениям, а также предсказывать солнечные и лунные затмения. Аз-Заркали написал несколько трактатов, в которых изложил результаты своих наблюдений Солнца, Луны и Меркурия, проведенных им в течение жизни.
* * *
Экваториальная стереографическая проекция в течение нескольких столетий была стандартной для изготовления карт мира благодаря Румольду Меркатору, сыну и наследнику Герарда Меркатора, который использовал ее в карте «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587), включенной в издание Атласа Меркатора 1595 года.
В зависимости от того, на какой части экватора располагается центр одного из полушарий (центром второго полушария будет диаметрально противоположная точка небесной сферы), карта мира будет выглядеть по-разному. На картах Румольда Меркатора, в «Новом и точнейшем представлении о мире» (Nova et accuratissima terrarum orbis tabula, 1664) голландского картографа Яна Блау (1596–1673), сына картографа Виллема Блау, или в «Новом точнейшем представлении мира» (Orbis terrarum nova et accuratissima tabula, 1666) Петера Гооса (на этих картах Калифорния изображена как остров, и эта картографическая ошибка повторяется на многих картах XVII и XVIII веков), центр расположен на меридиане Каспийского моря, поэтому на одном из полушарий изображены Европа, Африка, Азия и часть Океании, на другом — Тихий океан и Америка.
Карта двух полушарий «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587) Румольда Меркатора, выполненная в экваториальной стереографической проекции. На карте можно увидеть, как картографы того времени представляли себе Америку и Антарктиду.
Другие картографы, подобно Иодокусу Хондиусу (он в своем «Изображении всех морских экспедиций» (Vera totius expeditionis nauticae, стр. 106) отметил маршруты кругосветных путешествий Фрэнсиса Дрейка и Томаса Кавендиша), строили эту проекцию с поворотом на 90° и располагали центры полушарий в Атлантическом и Тихом океане соответственно. Некоторые изображали Европу и Африку в центре одного из полушарий — такую карту составил немецкий картограф Филипп Эккебрехт (1594–1667) в 1630 году для трактата по астрономии, написанного немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630).
Начиная с этого времени экваториальная стереографическая проекция стала использоваться для составления карт различных участков земного шара. Так, немецкий картограф Иоганн Баптист Гоманн (1664–1724)
Косую стереографическую проекцию первым использовал при составлении карт звездного неба в IV веке н. э. греческий математик и астроном Теон Александрийский, возможно, последний управитель Александрийской библиотеки и отец известной женщины-математика Гипатии. Сегодня стереографическая проекция указывается в числе рекомендуемых для составления карт звездного неба наряду с другими азимутальными проекциями, гномонической и равнопромежуточной.
Использовать косую стереографическую проекцию для составления карт Земли предложил австрийский картограф Иоганнес Стабиус (1450–1522). Эта проекция стала популярной благодаря немецкому математику Иоганнесу Вернеру (1468–1522), который включил ее в перевод «Географии» Птолемея на латынь. Следует учесть, что одной из основных задач, связанных с использованием новых проекций, было не их геометрическое определение, а создание методов их построения, что в те годы происходило вручную. Так, в книге Джона Снайдера «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) приведены некоторые методы построения стереографической и других картографических проекций.
В XVI и XVII веках эта проекция использовалась очень редко. Одним из исключений стал атлас мореплавателя и космографа Жака де Воля (ок. 1555–1597), который в 1583 году построил карту двух полушарий в этой проекции. Центр первого полушария располагался в Париже, центр второго, с изображением Антарктиды, был диаметрально противоположен ему. Эта проекция также использовалась в картах Европы и Азии английского историка Джона Спида (1552–1629). Хотя косая стереографическая проекция не снискала большой популярности, она применяется до сих пор: в публикации «Картографические проекции Европы» (Map Projections for Europe, 2003) Института экологии и окружающей среды ЕС (Institute for Environment and Sustainability) отмечается, что эта проекция используется, например, при составлении карт Нидерландов, Польши и Румынии. Применяла ее и Геологическая служба США при составлении карт Луны, Марса и Меркурия. Кроме того, на основе этой проекции Анри Руссель в 1922 году создал новую проекцию, которая использовалась в СССР и Геологической службой США.
Благодаря богатству геометрических свойств стереографическая проекция нашла применение во многих областях науки, в частности в таких разделах математики, как комплексный анализ, неевклидова геометрия, дифференциальная геометрия, аналитическая геометрия и топология. Эта проекция используется в физике, структурной геологии и инженерном деле, а также применяется в кристаллографии для изучения свойств симметрии кристаллов, так как благодаря конформности она сохраняет углы между гранями и ребрами кристаллов. В фотографии эта проекция используется при конструировании широкоугольных объективов типа «рыбий глаз» с максимально широким углом обзора.
Фотографии, выполненные в стереографической проекции широкоугольным объективом типа «рыбий глаз», стали популярными в фотоискусстве
(источник: Александр Дюре-Лутц).
Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления (румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодромы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например, стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркатора, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений ветров или перпендикулярных им изобар) и океанографии. Они также находят применение при анализе распространения волн, например сейсмических или радиоволн, которое, как известно, происходит радиально: не будем забывать, что в конформных проекциях окружности изображаются как окружности или прямые. Наконец, как показала американский биоматематик Моника Хёрдал из Университета штата Флорида, конформные проекции важно использовать при составлении карт мозга.