Механика от античности до наших дней

Григорьян Ашот Тигранович

Вскоре после переезда в Петербург Эйлер приступил к исследованию различных механических задач. Он продолжает глубоко изучать творения своих предшественников — от Галилея до Ньютона, Лейбница и его учеников — и одновременно выступает в печати с рядом оригинальных результатов. Начиная со второго тома в записках Петербургской академии наук появляются его статьи о таутохронных кривых и случаях пустоты и сопротивляющейся среды, о колебаниях упругих пластин, об ударе и др. Из 28 работ, представленных им Академии до конца 1734 г., 9 относились непосредственно к механике.

Уже в первые годы научной деятельности Эйлер составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ. Эта программа изложена в его первой двухтомной монографии «Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданной в Петербурге в 1736 г. В ней Эйлер писал: «Итак, разнообразие тел предопределяет для нас первоначальное деление

нашей работы. Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, — тем, которые являются твердыми, не позволяющими менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнить свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел. По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, представленные сами себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т. е. силы»^{147}.

Реализация намеченной программы, естественно, растянулась на десятилетия. Цитированная монография содержала основания динамики точки — под механикой Эйлер разумел науку о движении в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Это нашло отражение уже в названии книги и было особо подчеркнуто в предисловии к ней. Кратко охарактеризовав основные труды по механике, составленные на рубеже XVII—XVIII вв., Эйлер отмечал присущий им синтетико-геометрический стиль всего изложения, чрезвычайно затрудняющий читателей. В такой именно манере были написаны «Математические начала натуральной философии» Ньютона, благодаря которым наука о движении получила наибольшее развитие, и более поздняя «Форономия» (1716) Я. Германа — единственное тогда сочинение, в котором эта наука была изложена как самостоятельная дисциплина. Эйлер заявлял: «Однако если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом». Тут он ссылается на собственный опыт: познакомившись с обоими упомянутыми трудами Ньютона и Германа, он полагал, что я но понял решение многих задач, но в действительности оказался не в состоянии решить даже мало отличающиеся от них новые проблемы. Тогда Эйлер стал перерабатывать синтетические доказательства в аналитические и, лучше уяснив суть вопроса, перешел к аналитическому изучению новых задач, что в свою очередь привело его к открытию новых методов, обогащающих как механику, так и сам анализ. «Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что я получил в результате своих размышлений»^{148}.

Чрезвычайные выгоды, связанные с применением в динамике анализа вместо геометрических построений, общеизвестны. Следует заметить, что было бы неверно видеть заслугу Эйлера в одном только переводе динамики Ньютона с синтетико-геометрического языка на более простой аналитический. Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее новый математический аппарат и с блеском применил его ко множеству новых трудных задач. Он впервые сделал инструментом механики дифференциальную геометрию, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический метод не был, вообще говоря, адекватным явлениям динамики, поскольку требовал, как правило, индивидуальных построений, приспособленных к каждой задаче в отдельности. Метод Эйлера, развитый как им самим, так и другими учеными, был единообразным и адекватным предмету.

Обратимся к трактату Эйлера по механике. Первый том содержит учение о свободном движении точки.

В главе 1 даются определения и разъяснения основных понятий динамики. Уже здесь используется аппарат исчисления бесконечно малых. Так, среди прочего время движения по дуге траектории sсо скоростью с выражается интегралом

(знаки

нижнего и верхнего пределов интегрирования в то время не ставились).

Глава 2 трактует о действии сил на свободную точку. Здесь формулируется основная теорема, соответствующая второму закону Ньютона: «Если направление движения точки совпадает с направлением силы, то приращение скорости будет пропорционально силе, умноженной на промежуточек времени и деленной на материю или на величину точки»^{149}.

В главе 3 разобраны конкретные задачи: свободное падение тела и прямолинейное движение свободной точки под действием центральных сил, пропорциональных той или иной степени расстояния. В случае, когда центростремительная сила обратно пропорциональна расстоянию от центра, Эйлер выражает время полного падения через знаменитый интеграл

незадолго перед тем исследованный им и названный впоследствии эйлеровым интегралом второго рода.

Глава 4 посвящена разбору задач о прямолинейном движении точки в однородной среде с сопротивлением, пропорциональным какой-либо степени скорости.

В главе 5 Эйлер переходит к плоскому криволинейному движению свободной точки в пустоте. Он разлагает действующую силу на две составляющих — по касательной и по нормали к траектории — и, используя такие же разложения ускорения, получает два уравнения движения. Обширное место отведено движению точки под действием центральной силы, в частности силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тут Эйлер дает аналитическую переработку посвященных тому же предмету параграфов «Математических начал натуральной философии» Ньютона и закладывает основы последующих работ по небесной механике.

Первый том «Механики» заканчивается главой о криволинейном движении в сопротивляющейся среде. Специальное внимание Эйлер уделяет важному по внешней баллистике случаю, когда сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Задачу эту ранее рассматривали Ньютон, Герман, И. Бернулли, но решение Эйлера отличалось и оригинальностью, и большей полнотой.

Во втором томе «Механики» Эйлер исследует несвободное движение точки, когда, как он выражается, тела встречают препятствия тому, чтобы продвигаться в том направлении, в котором они стремятся двигаться, как, например, маятники. При рассмотрении движения в пространстве он пользуется разложением сил по трем взаимно перпендикулярным направлениям подвижного естественного трехгранника, связанного с точками траектории, т. е. проектированием на касательную, главную нормаль и бинормаль. Это дает соответственно три уравнения движения.

Особое значение в развитии механики и математики имеет последняя глава второго тома о движении точки на данной поверхности, в которой Эйлер развил учение о кривизне плоских сечений поверхностей и о геодезических линиях на поверхности.

«Механика» Эйлера сразу привлекла к себе внимание ученого мира. С высокой похвалой отозвался о ней в письме 6 ноября 1737 г. к автору И. Бернулли. В том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eroditorum».

Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия.

Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает экстремальное значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике. П. Ферма (1601 — 1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была подхвачена И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»^{150}. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mvs, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара.