Менеджмент: конспект лекций
Шрифт:
Следовательно, превышение мирового уровня не приносит предприятию дополнительного дохода. Поэтому предположим, что дополнительные затраты на превышение уровня качества P ( t ) выпускаемой продукции сверх мирового уровня пропорциональны этому превышению, т. е. за время ( t; t + dt ) равны
b ( P ( t ) – P 0( t )) dt .
где b – коэффициент пропорциональности
При отставании уровня качества продукции от мирового предприятие несет заметные убытки, в частности, ему приходится снижать цены. Пусть потери от морального старения продукции пропорциональны отставанию от мирового уровня качества, т. е. за время ( t; t + dt ) равны
c ( P ( t ) – P 0( t )) dt .
где c – коэффициент пропорциональности и P ( t ) < P 0( t ).
Функционал, который будем оптимизировать, выбирая моменты t 1, t 2, t 3, … и соответствующие величины скачков, равен сумме расходов на запуск новых марок, затрат на превышение уровня качества P ( t ) выпускаемой продукции сверх мирового и потерь от морального старения продукции ввиду отставания от мирового уровня качества. Пусть за время (0; T ) выпущено на рынок n = n (T) новых марок. Тогда функционал имеет вид
nd + bS 1 + cS 2,
где S 1 – суммарная площадь треугольников, образованных графиками P ( t ) и P 0( t ) и расположенных выше прямой a 0 + at , а S 2 – суммарная площадь треугольников, образованных графиками P ( t ) и P 0( t ) и расположенных ниже прямой a 0 + at .
Минимизацию затрат проведем в три этапа. На первом этапе зафиксируем моменты t 1, t 2, t 3, … Рассмотрим два соседних момента t k и t k+ 1. Положим Δ = t k+ 1 – t k . Тогда ситуация полностью описана, если задан промежуток времени δ такой, что в момент t k + δ уровень качества выпускаемой предприятием продукции совпадает с мировым уровнем качества.
Меняя величину δ, мы изменяем высоту рассматриваемой «ступеньки» графика P ( t ),
За промежуток времени Δ затраты, связанные с превышением уровня качества сверх мирового, как видно, равны
а потери из—за морального старения (при отставании от мирового уровня) равны
Следовательно, суммарные потери за рассматриваемый интервал времени момента ( t k ; t k+ 1) равны
Выбирая δ оптимальным образом, минимизируем суммарные затраты и потери за рассматриваемый интервал времени. Продифференцировав функцию f (δ) по δ и приравняв производную 0, получим оптимальное значение δ, а именно:
При оптимальном δ затраты за период с t k до t k+ 1, как нетрудно подсчитать, равны
На втором этапе оптимизации зафиксируем число скачков и найдем при этом условии оптимальные моменты скачков t 1, t 2, t 3, … Положим Δ j = t j+ 1 – t j , где j = 1, 2, …, n, причем примем t n+ 1 = T , где T – горизонт планирования. Тогда суммарные затраты за весь рассматриваемый интервал планирования равны
Эту функцию необходимо минимизировать по всем n неотрицательным переменным Δ j , j = 1, 2, …, n, при условии
Δ 1 + Δ 2 + … + Δ n = T .
Достаточно решить чисто математическую задачу оптимизации
где n = n(T). Для ее решения целесообразно ввести новые переменные