Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Грасиан Энрике

Итак, обратимся к общему определению. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b (а^с = Ь), что записывается как

log_ab = с.

Непер был заинтересован в упрощении вычислений в сферической тригонометрии и впервые применил логарифмы для тригонометрических функций. Его подход не был похож на используемый сегодня, который можно назвать арифметическим.

Его метод был «кинематическим», то есть он рассматривал два отрезка, пробегаемых с разной скоростью. Слово «логарифм», впервые использованное самим Непером, означает «числа отношений» в смысле отношений между различными отрезками. (В нашем случае это отношение между числами из

разных строк таблицы.) Непер работал с логарифмами по основанию 10⁷, что было не особенно практично. Кроме того, ему не удалось установить, что логарифм числа 1 равен нулю, что равносильно соотношению 10⁰  = 1. Генри Бригс (1561–1632), заведующий кафедрой геометрии Оксфордского университета, заинтересовался логарифмами Непера, написал ему и предложил встретиться. Летом 1615 г. Бригс приехал к Неперу в замок Мерчистон, где они обсудили возможность использования числа 10 в качестве основания логарифма и соотношение log 1 = 0. Непер, который был болен в то время, отказался составлять новую версию своих логарифмических таблиц. Через два года Непер умер, и Бригс сформулировал определение десятичных логарифмов, так называемых «логарифмов Бригса».

Кроме того, как оказалось, вроде бы случайный подход при составлении логарифмических таблиц стал важной вехой в развитии математики. На задней обложке школьных учебников принято приводить таблицу умножения, аналогично и список простых чисел помещался в конце логарифмических таблиц. Тому была особая причина. Напомним, что любое число можно представить в виде произведения простых множителей, поэтому логично сначала вычислить логарифмы простых чисел, а затем считать логарифмы других чисел путем простого сложения результатов.

Логарифмические таблицы, которые Гаусс использовал в школе, содержали список первой тысячи простых чисел. Перед гением оказались два вроде бы не связанных между собой понятия, но их последующее сочетание привело к одной из самых интересных теорем алгебры.

* * *

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

В наше время, чтобы посчитать логарифм, достаточно нажать клавишу карманного калькулятора, но в XVII в. использовались огромные книги, содержащие логарифмы как можно большего количества чисел. В 1617 г. Генри Бригс опубликовал первые таблицы с логарифмами чисел от 1 до 1000 с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Семь лет спустя появились новые таблицы, сначала для чисел от 1 до 20 000, а затем от 20 000 до 100 000, также с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Издания этих таблиц вскоре были напечатаны и в других странах в связи с огромной практической пользой вычислений с помощью логарифмов. Морская навигация требовала все более точных астрономических карт, и астрономам приходилось тратить много часов, дней и даже лет на сложные тригонометрические расчеты. Как говорил Пьер-Симон Лаплас, Непер своим изобретением «продлил жизнь астрономов».

Первые логарифмические таблицы, опубликованные в Эдинбурге в 1614 г.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс

Гаусс родился в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г. Он происходил из бедной семьи и, скорее всего, работал бы на ферме, если бы не вмешательство судьбы: уже в начальной школе в возрасте девяти лет Гаусс был лучшим учеником. В этой общественной школе работал всего один учитель, господин Бюттнер, которому приходилось управляться с сотней учеников. Поэтому он старался занять детей длинными утомительными вычислениями. Однажды он дал им задание сосчитать сумму первых ста натуральных чисел. В тот же момент Гаусс положил свою тетрадь и сказал: «Готово!». Он не только посчитал сумму

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + … + 101 = 101 х 50 = 5050

за рекордно короткое время, но и решил задачу о нахождении суммы арифметической прогрессии. Бюттнер, увидев исключительную одаренность мальчика, передал его Иоганну Мартину Бартельсу (1769–1836), талантливому преподавателю математики, который был всего лишь на восемь лет старше Гаусса. С Бартельсом, с которым они оставались близкими друзьями до конца жизни, Гаусс сделал первые шаги в мире чисел. Мать Гаусса, Доротея Бенц, понимая, что надо развивать необычные способности сына, но не имея собственных средств, обратилась к герцогу Брауншвейга. Тот стал покровителем мальчика и дал ему стипендию для обучения в гимназии, а затем в Гёттингенском университете. Вот так молодой Гаусс избежал

судьбы фермера и стал «принцем математики». Вершиной его профессиональной карьеры стала должность профессора астрономии и директора обсерватории в Гёттингенском университете. Жизнь Гаусса протекала относительно спокойно.

Портрет Гаусса в молодости.

Во время политической нестабильности он остался верен герцогу, своему покровителю. Гаусс был единственным ребенком в семье и женился лишь в возрасте 32 лет на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, младший из которых умер через несколько месяцев после смерти Иоганны.

В 1810 г. Гаусс женился во второй раз на Вильгельмине Вальдек, дочери университетского профессора права. Вильгельмина родила ему еще троих детей. Гаусс умер в Гёттингене 23 февраля 1835 г. К тому времени как ученый он был известен во всем мире.

Литография Эдуарда Ритмюллера, изображающая уже знаменитого Гаусса на террасе обсерватории в Гёттингенском университете.

Первая гипотеза

В записной книжке, которая была у Гаусса в возрасте 14 лет, имеется такая запись:

« Простые числа, меньшие 

Гаусса заинтересовал длинный список простых чисел, приведенный в конце логарифмических таблиц, мальчик был очаровал их хаотичностью. Однако он уже решил для себя, что не его это дело — искать формулу, предсказывающую появление следующего простого числа. Гаусс чувствовал, что такие попытки, скорее всего, закончатся провалом. Вместо этого он решил посчитать, сколько простых чисел находится между двумя заданными числами или, другими словами, сколько простых чисел встречается среди первых десяти, ста, тысячи и десяти тысяч чисел, что позволило бы ему оценить частоту, с которой простые числа появляются в последовательности натуральных чисел.

Мы уже знаем, что первые десять натуральных чисел содержат только четыре простых числа (2, 3, 5 и 7). От десяти до ста — двадцать одно простое число. Для выражения этого количества Гаусс ввел следующую функцию, которую он обозначил (x):

(x): = количество простых чисел, меньших, чем х.

* * *

УЧЕНЫЙ ДО МОЗГА КОСТЕЙ

Гаусс занимался не только математикой. Он получил важные результаты, исследуя магнитное поле Земли, притяжение эллипсоидов, а также сделал интересные открытия в теории электромагнетизма, капиллярности и диоптрики. В области геодезии Гаусс изобрел гелиостат (устройство для посылания сигналов с помощью отраженного света). Любопытный случай произошел в 1833 г., когда Гаусс работал с Вильгельмом Вебером (1804–1891), проводя исследования по электромагнетизму. Ученый создал электрическое устройство, способное передавать сообщения со скоростью света. Он изобрел не что иное, как электрический телеграф.

Памятник Гауссу и Веберу в Гёттингене.

* * *

Таким образом, (10) = 4. А чтобы вычислить (15), мы должны посчитать количество простых чисел, которые меньше 15, то есть

2, 3, 5, 7, 11, 13.

Так что (15) = 6.

Символ , который используется в этой формуле, более известен как число пи, но в данном контексте он не имеет этого математического смысла. Функция могла быть обозначена и любым другим символом, например, С(х). Действительно, молодой Гаусс сделал не самый лучший выбор. Вполне вероятно, что он просто использовал первый пришедший в голову символ. Большинству людей обозначение (х) будет автоматически напоминать о связи с длиной окружности, но в данном контексте она не имеет ничего общего с простыми числами. В любом случае, мы будем продолжать использовать это обозначение.