Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Грасиан Энрике

Как мы увидели, число может быть разложено на делители, или на множители. Так, число 12 можно представить в виде 3 x 4. Напомним, что при разложении на множители имеется в виду, что число 12 производится числами 3 и 4. Но мы также знаем, что число 12 может быть получено и из других чисел, например:

12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3.

Итак, процесс разложения числа на множители называется факторизацией. Напомним, именно этот процесс привел нас к точному определению простого числа, при факторизации которого мы получаем только единицу и само число в качестве множителей. Например, число 13 будет разложено так:

13 = 1 х 13.

Когда один из множителей в произведении повторяется, мы используем надстрочный индекс, равный

количеству повторений. Например:

2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 2⁵;

З х З х З х З = 3⁴.

В математике это называют «степенью». Читается это как 2⁵ (два в пятой степени) и З⁴  (три в четвертой степени).

В предыдущем примере мы представили число 12 в виде трех произведений с различными множителями: 2 и 6; 3 и 4; 2, 2 и 3. Только последнее из этих произведений содержит лишь простые множители. Рассмотрим другой пример, число 20:

20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5.

Только произведение 20 = 2 x 2 x 5 = 2² х 5 содержит лишь простые множители.

Перед нами встает следующий вопрос: можно ли любое наугад взятое число всегда разложить на простые множители? Другими словами, может ли оно быть представлено в виде произведения только простых чисел? Ответ на этот вопрос положителен. Более того, любое число можно разложить на простые множители единственным образом. Когда мы записываем число 20 в виде произведения простых множителей, 20 = 2² х 5, мы делаем это единственно возможным образом, учитывая, что порядок множителей не имеет существенного значения, то есть разложения 2 х 5 х 2 и 5 х 2 х 2 считаются одинаковыми. Эта теорема была сформулирована Евклидом и известна как «основная теорема арифметики». Она утверждает, что «любое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде произведения простых множителей».

* * *

КАК НАЙТИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Чтобы разложить число на простые множители, для начала нужно написать исходное число слева от вертикальной линии. Затем проверить, делится ли число на 2, 3, 5 и т. д., то есть на простые числа, начиная с самых маленьких. Если делится, то мы записываем результат деления слева от черты и проделываем с ним то же самое. Процесс продолжается до тех пор, пока слева не появится единица. Тогда правый столбик будет содержать простые числа, которые являются множителями в разложении исходного числа.

* * *

Так что когда мы пишем 24 = 2³  х 3, мы утверждаем, что это единственный способ разложить число 24 на простые множители. Таким образом, название «основная теорема» полностью оправдано, поскольку это одна из основ арифметики. Кроме того, в этом смысле простые числа также играют важнейшую роль. Возвращаясь к вышеупомянутым сравнениям, можно сказать, что разложение 2³ х 3 является формулой ДНК числа 24; это — последовательность, состоящая из генов 2³  и 3, или из атомов 2 и 3, образующих элемент 24.

Следовательно, простые числа являются первичными элементами, из которых построены все числа. Слово «простой» (prime) происходит от латинского слова primus, означающего «первый» и включающего в себя оригинальное значение «первичный», или «примитивный», так как все числа могут быть порождены простыми числами. Так же как атомы образуют молекулы, простые числа образуют составные числа. Все известные химические элементы состоят из атомов, которые сочетаются друг с другом определенным образом. Русский химик Дмитрий

Иванович Менделеев (1834–1907) создал периодическую систему элементов, расположив все химические элементы по группам. Однако не существует аналогичной таблицы для простых чисел, в которой они были бы сгруппированы в соответствии с неким правилом, не существует закона, который генерирует все простые числа без исключений. Простые числа появляются хаотическим образом и распределяются в ряду натуральных чисел без всякой видимой закономерности.

Простые числа: изобретение или открытие?

С появлением систем счисления одной из первых естественных задач была проверка того, является ли число четным или нечетным. Следующим шагом было разложение чисел на множители, что определило признаки деления, которые изучаются в начальной школе. Таким образом, в любой системе счета есть наборы чисел, определяемые своими свойствами, которые легко проверить. Но это не относится к простым числам. Единственное, что точно о них известно, это то, что они не могут быть четными (за исключением самого первого простого числа — 2), иначе они бы делились на два. Но и нельзя их рассматривать как что-то редко встречающееся, так как еще Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Позже мы рассмотрим элегантный способ доказательства этой идеи. Также нельзя недооценивать важность простых чисел, поскольку основная теорема арифметики определила им в математике главную роль. Поэтому, как уже говорилось, простые числа по праву стали предметом пристального изучения.

Когда мы говорим о предмете научного исследования, логично предположить, что он существует. Мы его уже обнаружили или еще нет, впоследствии мы можем его изучать или проигнорировать, но в любом случае он существует независимо от того, что мы о нем думаем. Так в определенный исторический момент бактерии стали для биологов объектом изучения. Никто не сомневается в том, что бактерии уже присутствовали в природе в качестве живых организмов задолго до появления биологов, на самом деле даже до появления вида человека. Никто из ученых не сомневается в этом. Однако в математике вопрос приобретает иную окраску. Являются ли простые числа открытием или изобретением человеческого ума? Существовали бы простые числа, если бы не было человека? Этот вопрос вызывал и продолжает вызывать много споров, что очень интересно для одних и неважно для других. Скорее всего, это один из вопросов, не имеющих ответа, и мы можем лишь высказывать свои мнения.

Но в отношении математических исследований есть действительно интересный момент: математики ведут себя как первопроходцы, вступающие в странный незнакомый мир, как будто математика на самом деле отделена от нашего мира. Это чувство неизведанного является самой сутью математических исследований и придает им поэтическую привлекательность. Немецкий физик Генрих Рудольф Герц (1857–1894) говорил: «Разве можно не испытывать такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом? Кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, что они дают нам больше, чем мы в них изначально заложили».

Философская, или, лучше сказать, эпистемологическая школа, которая считает, что идеи (в том числе математические истины) существуют независимо от нас, известна как платонизм. Это учение утверждает, что конкретные воплощения существуют до тех пор, пока находятся в присутствии абстрактной идеи.

История математики, похоже, подтверждает эту теорию неоспоримым фактом универсальности математики: различные цивилизации в разные периоды истории и в разных концах света, как правило, приходят к одним и тем же заключениям и истинам. В случае простых чисел существует интересный артефакт, который можно назвать археологическим экспонатом математики: кость Ишанго.