Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности
Шрифт:
С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10100 и 10100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!
Казалось бы, чтобы найти закономерность, надо составить таблицу, которая содержит все простые числа. Все? А что, если их очень много? Хотя, имея в распоряжении современные методы, можно проделать с числами всевозможные тесты, позволяющие найти закономерности. Ведь понятно, что в случае конечных множеств, даже очень больших,
Возьмем ряд последовательных простых чисел, например: 2, 3, 5.
Затем перемножим их:
2 х 3 х 5 = 30.
Теперь добавим к результату единицу:
2 х 3 х 5 + 1 = 30 + 1 = 31.
Ясно, что если разделить 31 на любое простое число из этого ряда — 2, 3, 5, — то в остатке получится 1:
31/2 = 15 + 1
31/3 = 10 + 1
31/5 = 6 + 1.
Это означает, что число 31 не делится на наши числа. Это справедливо и в общем случае: если взять ряд последовательных простых чисел, перемножить их и добавить единицу, то полученное число не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел. Этот простой факт и лежит в основе доказательства Евклида.
Число 31 тоже простое число, но его нет в первоначальном списке, который, следовательно, является неполным. Возьмем следующий ряд чисел в качестве примера:
{2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Перемножим их и добавим единицу:
2 х 3 х 5 х 7 х 11 х 13 + 1 = 30 030 + 1 = 30 031.
Результат не является простым числом, так как может быть разложен в произведение двух других чисел:
30 031 = 59 х 509.
Евклид уже доказал, что любое натуральное число может быть единственным образом разложено в произведение простых множителей. В случае с числом 30 031, которое является составным числом, ясно, что для его разложения в произведение простых множителей чисел в списке {2, 3, 5, 7, 11, 13} будет недостаточно, то есть этот список неполон.
Мы пришли к следующему выводу: каким бы ни был первоначальный ряд простых чисел, при их перемножении и добавлении единицы получается новое число одного из двух типов:
1) простое число, которого нет в списке;
2) составное число, при разложении которого на простые множители получаются простые числа, не входящие в список.
Таким образом, первоначальный ряд простых чисел всегда является неполным, если он не является бесконечно длинным.
К сожалению, этот метод не позволяет найти все простые числа, хотя он является важной отправной точкой, так как указывает на масштаб проблемы и позволяет разрабатывать различные стратегии для ее решения. Можно было бы подумать, что не так уж важно доказывать, что множество простых чисел бесконечно, ибо это подсказывает нам интуиция. Однако с простыми числами нужно быть очень осторожными, ведь они настолько «редко» встречаются, как будто могут закончиться в любой момент. Тем не менее, теорема Евклида убедительно доказывает, что этого не произойдет.
Глава 2
Простые числа: ускользающие правила
Как мы уже говорили, простые числа представляют из себя одну из важных тем, которые возвращают нас к самым истокам математики, а затем по пути возрастающей сложности приводят на передний край современной науки. Таким образом, было бы очень полезно проследить увлекательную и сложную историю теории простых чисел: как именно она развивалась, как именно были собраны факты и истины, которые в настоящее время считаются общепринятыми. В этой главе мы увидим, как целые поколения математиков тщательно изучали натуральные числа в поисках правила, предсказывающего появление простых чисел, — правила, которое в процессе поиска становилось все более и более ускользающим. Мы также подробно рассмотрим исторический контекст: в каких условиях математики работали и в какой степени в их работе применялись мистические и полурелигиозные практики, которые совсем не похожи на научные методы, используемые в наше время. Тем не менее медленно и с трудом, но была подготовлена почва для новых воззрений, вдохновлявших Ферма и Эйлера в XVII и XVIII вв. Эти теории мы подробно рассмотрим в следующей главе.
Как и в истории математики в целом, с великими открытиями в теории простых чисел связаны имена нескольких человек. Но эти математики не смогли бы достичь таких результатов без богатого наследия, оставленного предшествующими учеными: гении не появляются из ниоткуда. Поэтому мы не должны игнорировать ту систему воззрений, на которой это наследие было построено, а также культурные традиции, которые помогли добиться таких научных результатов.
В 1930 гг. специализированные книжные магазины начали продавать учебники математики ранее неизвестного автора Николя Бурбаки. Эти книги сразу завоевали определенный успех в математическом сообществе. Среди прочего они содержали первое хорошее изложение теории математического анализа.
Однако их цель заключалась не только в обеспечении рынка новыми учебниками, но и в объединении отдельных областей математики, например, алгебры и анализа, где царил хаос из-за огромного количества новых результатов, полученных за последние годы. Но многие были удивлены, узнав, что математика Николя Бурбаки никогда не существовало и что этот псевдоним выбрала для себя небольшая группа математиков, в числе которых были Анри Картан (1904–2008) и Андре Вейль (1906–1998), решившие из благих побуждений реконструировать математику.
Труды группы Бурбаки хорошо документированы, потому что этот математический коллектив существовал совсем недавно. Но то же самое нельзя сказать о других школах древности, таких как школы Пифагора и Евклида: их работы сегодня приписываются одному человеку. Правда, многие полагают столь же вероятным, что эти труды были результатом сотрудничества нескольких человек.
* * *
ГЕНЕРАЛ-МАТЕМАТИК
Откуда взялся псевдоним «Бурбаки»? По версии одного из самых выдающихся членов группы, Андре Вейля, в его студенческие годы произошел такой забавный случай. Как-то раз Картан и Вейль посетили лекцию, которую читал странного вида математик с непроизносимым скандинавским именем и с неопределенным акцентом. Он рассказал об удивительной и невероятной теореме Бурбаки, автором которой был французский генерал Шарль Дени Бурбаки (1816–1897), знаменитый герой франко-прусской войны. Лекция оказалась шуткой другого студента, Рауля Хасона, но Картана и Вейля вдохновило имя генерала: греческое происхождение имени делало его идеальным псевдонимом, под которым можно было опубликовать «евклидову реконструкцию» математики. Так Бурбаки и стал великим математиком.
Генерал Дени Бурбаки, вдохновлявший патриотов и математиков.
* * *
Замечательный факт состоит в том, что достижения в области научного знания, как в целом, так и в математике, никогда не зависят лишь от одного человека. Это правда, что некоторые люди совершают великие открытия, но они сами являются продуктом математического сообщества. Для нового открытия также необходимо, чтобы существовали журналы, читались лекции, проводились конференции, на которых может быть получена новая информация и установлены связи между учеными. В настоящее время, конечно, обмен информацией достиг беспрецедентного пика эффективности. Благодаря общению через интернет научное открытие оказывается в пределах досягаемости каждого, кто только пожелает получить к нему доступ. Однако потребность в сохранении информации (чтобы ею могли воспользоваться другие) существовала во все времена: это одна из культурных связей, объединяющих общество. В этом смысле простые числа являются необычным предметом исследования. Еще на заре истории они привлекали внимание исследователей и продолжают это делать до сих пор. Проследив историю этих исследований, мы не только получим информацию об их математической природе, но и сможем развивать такие точки соприкосновения, которые с использованием современной терминологии можно было бы назвать «информационными центрами». Александрийская библиотека является классическим примером одного из них.