Начертательная геометрия: конспект лекций
Шрифт:
Для определения истинных размеров треугольника ABC нужно совместить плоскость Р с горизонтальной плоскостью путем вращения около горизонтального следа Ph.
Чтобы построить развертку, надо иметь все необходимые элементы на эпюре, основание проектируется без искажения на горизонтальную плоскость, а все ребра с точками пересечения – на фронтальную плоскость.
Начинать построение развертки следует с ребра КК1, поместив его где-нибудь в стороне. На рисунке 96 показаны вспомогательные прямые, проведенные перпендикулярно ребру КК1. После этого от точки К вправо откладывается отрезок KL, равный стороне основания kl.
После этих действий на всех ребрах отмечают точки А, В и С, откладывая на развертке KA = ka, LB = lb и МС = mс.
Отметим, что на развертке отрезки АВ, ВС и СА имеют натуральные размераы сторон треугольника сечения, который показан на чертеже слева в натуральную величину (треугольник ABC). В связи с этим данные отрезки должны быть равны соответствующим сторонам треугольника. Проверкой точности построения является равенство этих отрезков на чертеже.
Теперь осталось только пристроить к развертке боковой поверхности призмы верхнее и нижнее основания, т. е. два треугольника MKL и M1K1L1. При этом каждый из треугольников строится по трем сторонам.
На рисунке 97 показано пересечение поверхности призмы горизонтально-проецирующей плоскостью Q. Здесь сечением является прямоугольник АА1В1В, одна пара сторон которого АВ и A1B1 проецируется без искажения на горизонтальную плоскость, а вторая пара AA1 и ВВ1 – на фронтальную и профильную плоскости.
Пусть натуральные размеры обеих сторон прямоугольника АА1В1В даны, но в разных местах. Для построения прямоугольника в натуральную величину нужно через а и b провести прямые перпендикулярно q, затем наметить на них где-нибудь положение точек А и В (ABaA). После этого откладываются от точек А к В на вспомогательных линиях натуральные размеры сторон АА1 и ВВ1, при этом их берут с фронтальной проекции.
Строя натуральную величину сечения, мы как бы совместили прямоугольник с горизонтальной плоскостью, вращая его около горизонтального следа АВ (АВ = аb). После чего для удобства немного отодвинули это изображение от линии q.
Построение натурального вида прямоугольника
сечения
3. Пирамида
На рисунке 98 показано пересечение поверхности пирамиды фронтально-проектирующей плоскостью Р. На рисунке 98б изображена фронтальная проекция а точки встречи ребра KS с плоскостью P. Она определяется пересечением следа Pv с фронтальной проекцией ребра ks (рис. 98 а). Если фронтальная проекция а точки А дана, то легко найти её горизонтальную проекцию а.
На рисунке 98, б показаны натуральные размеры ABC сечения ABC, которые были определены совмещением его с горизонтальной плоскостью путем вращения около следа Ph. Отдельно на этом рисунке показаны элементы, которые необходимы для построения развертки. Натуральные размеры ребер пирамиды можно найти путём вращения их около оси, проходящей через вершину S перпендикулярно горизонтальной плоскости, как показано на рисунке 98 в. На рисунке 98 г показана развертка, а изображение каждого из треугольников, входящих в состав развертки, можно построить по трём его сторонам – ребрам.
На рисунке 99 показано пересечение поверхности пирамиды горизонтально-проецирующей плоскостью Q. Треугольник ABC является сечением поверхности пирамиды плоскостью Q, основание АС которого проецируется на горизонтальную плоскость без искажения, а высота BD – на фронтальную и профильную плоскости.
Чтобы построить натуральное изображение сечения, нужно провести через проекции а, с и d вспомогательные прямые, которые перпендикулярны Qh. После этого следует провести прямую АС параллельно Qh (ACаА), точка D будет лежать на АС. Затем необходимо отложить от точки D на прямой Dd высоту треугольника (DB = db). Это определит положение вершины В. Теперь треугольник ABC представляет собой натуральный вид сечения поверхности данной пирамиды плоскостью Q. Строить натуральный вид треугольника сечения весьма удобно слева от фронтальной проекции (треугольник ABC).
4. Косые сечения
Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленить рассматриваемое тело на элементарные геометрические тела, например призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар и т. д. После чего следует строить натуральный вид искомого сечения, рассматривая последовательно пересечение плоскости с каждым из этих тел.
На рисунке 100 показана правильная четырёхгранная пирамида с призматическим сквозным отверстием, которая пересечена фронтально-проецирующей плоскостью. Пусть требуется построить натуральное изображение сечения. Она представляет собой две равнобедренные трапеции ABCD и EFGH.
На плане представлены размеры сторон параллельных оснований в натуральную величину, а расстояния между ними, которые являются высотами трапеций, – на главном виде. Для построения сечения этих данных достаточно. Построение выполняют в следующем порядке:
1) проводят ось симметрии сечения параллельно фронтальному следу секущей плоскости, переносят на нее высоты упомянутых трапеций. С этой целью проводят через соответствующие точки следа секущей плоскости прямые, которые перпендикулярны этому следу;