Начертательная геометрия: конспект лекций
Шрифт:
Для дуги этого эллипса в сечении мы строили четыре точки: А – конец большой оси (вершина эллипса), G – конец малой оси, С – промежуточная точка и К – точка, в которой заканчивается дуга эллипса;
2) линия пересечения в точке К переходит с поверхности цилиндра 1 на верхнее основание цилиндра 3 (на плоскость 2).
Отрезок KL прямой, по которой секущая плоскость пересечет плоскость 2, изображена в натуральную величину на плане (KL = kl);
3) от точки L до точки R мы располагаем небольшой дугой эллипса, которая соответствует пересечению с боковой поверхностью цилиндра 3;
4) затем
5) далее с плоскости 4 линия пересечения переходит на поверхность шара 5, центр которого находится в точке О, а центр окружности, по которой секущая плоскость пересекает поверхность шара, 1 в точке Q. При этом радиус этой окружности равен qp = QP, им нужно провести дугу из центра Q до встречи с прямой RM в точке N (MN = mn);
6) соответственно от пересечения секущей плоскости с поверхностью цилиндра 6 должна получиться дуга эллипса BE. Здесь цилиндры 1 и 6 имеют общую ось, вследствие чего у обоих эллипсов один и тот же центр находится в точке F;
7) линия пересечения переходит в точке Е на поверхность конуса 7, тогда наклон секущей плоскости по отношению к основанию конуса оказывается больше наклона образующей. Следовательно, мы получаем гиперболу с вершиной в точке Н, а слева от горизонтальной проекции на рисунке 110 построен натуральный вид этого сечения.
Лекция № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел
1. Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут точки пересечения найденного сечения и данной прямой (рис. 111).
Для нахождения точек М и N, в которых прямая I встречает поверхность пирамиды, проделаем следующее.
1. Через данную прямую I нужно провести фронтальнопроектирующую плоскость Р.
2. Затем найти точки А1, В1 и С1, в которых ребра пирамиды встречают плоскость Р. Вследствие этого получим треугольник сечения поверхности пирамиды плоскостью Р.
Прямая I и треугольник А1В1С1 лежат в одной и той же плоскости Р, поэтому точки М и N пересечения прямой I со сторонами треугольника А1В1С1 являются искомыми.
2. Конус
Пусть нужно найти точки М и N, в которых прямая I встречает поверхность конуса. Для этого рассмотрим рисунке 112, на котором показано нахождение следов прямой на поверхности конуса. Через вершину S и данную прямую I
1) плоскость Р определяется точкой S и прямой I, тогда найдем ее след Рh. При этом одна точка следа Ph определяется следом h1 прямой I. Вторая точка искомого следа Ph находится путем проведения в плоскости Р произвольной прямой до встречи с горизонтальной плоскостью. С этой целью соединим точку S с любой точкой С этой прямой и найдем след h2 прямой SC. Прямая, соединяющая точки h1 и h2, будет представлять собой след Ph;
2) затем нужно приступать к нахождению горизонтальных проекций а и b точек пересечения А и В следа Ph с окружностью основания конуса;
3) после этого проводят горизонтальные проекции as и bs, образующих AS и BS, причем их фронтальные проекции не нужны;
4) далее отмечают точки пересечения m и n горизонтальных проекций образующих as и bs с горизонтальной проекцией данной прямой, они будут горизонтальными проекциями искомых точек М и N;
5) в заключение остается найти фронтальные проекции m и n на фронтальной проекции I данной прямой.
Лекция № 13. Пространственные линии
1. Цилиндрическая винтовая линия
Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.
Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.
Вследствие этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривую М1М2М3М4М5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.