Начертательная геометрия: конспект лекций, Козлова Ирина Сергеевна

Начертательная геометрия: конспект лекций

на обложку

Козлова Ирина Сергеевна

Шрифт:

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А

и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а) называют профильной проекцией и обозначают а.

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а, необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х, а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а и а точки А, полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z).

На рисунке 16 три проекции а, а и а точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х;

2) фронтальная и профильная проекции а и а всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а– вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оауа0ан – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

4. Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами. Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х, при этом х = а"А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = аА,

а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z, при этом z = aA.

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а"А = Оах = ауа = aza;

y = аА = Оаy = аxа = аzа";

z = aA = Oaz = аxа = аyа".

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = аzа = Оаx = аyа,

z = аxa = Oaz = аyа".

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оау = аха

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оау = аzа".

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у,

2) фронтальной – координатами x и z,

3) профильной – координатами у и z.

Используя координаты х, у и z, можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а должны располагаться на одном перпендикуляре к оси х, так как имеют общую координату х;