О чём не пишут в книгах по Delphi

Григорьев Антон Борисович

Итак, установить значение управляющего слова можно с помощью команды

FLDCW

, прочитать с помощью

FNSTCW

. Обе эти команды имеют один аргумент — переменную типа

Word

. Чтобы, например, установить 53-значную точность, не изменив при этом другие биты управляющего слова нужно выполнить такую последовательность команд:

asm

 FNSTCW MyCW

 AND MyCW, 0FC00h

 OR MyCW, 200h

 FLDCW MyCW

end;

Начиная с Delphi 6, в модуле

Math

появилась еще одна функция, позволяющая устанавливать точность FPU без манипуляции с отдельными битами управляющего слова —

SetPrecisionMode

.

В зависимости от значения аргумента (

pmSingle

,

pmDouble

или

pmExtended

) она устанавливает требуемую точность. Современные сопроцессоры обрабатывают числа с такой скоростью, что при обычных вычислениях вряд ли может возникнуть необходимость в ускорении за счет точности — выигрыш будет ничтожен. Эта возможность необходима, в основном, в тех случаях, когда вычисления с плавающей точкой составляют значительную часть программы, а высокая точность не имеет принципиального значения (например, в 3D-играх). Однако забывать об этой особенности работы сопроцессора не следует, потому что она может преподнести один неприятный сюрприз, о котором чуть позже.

3.2.5. Бесконечные дроби

Из школы мы все помним, что не каждое число может быть записано конечной десятичной дробью. Бесконечные дроби бывают двух видов: периодичные и непериодичные. Примером непериодичной дроби является число π, периодичной — число ⅓ или любая другая простая дробь, не представимая в виде конечной десятичной дроби.

Примечание

Напомним, что периодичные дроби — это такие дроби которые содержат бесконечно повторяющуюся последовательность цифр. Например, 1/9=0,11111..., 1/12=0,08333333..., 1/7=0,142857142857... Такие числа записывают со скобками — в них заключают повторяющуюся часть. Те же числа должны быть записаны так: 1/9=0,1(1), 1/12=0,08(3), 1/7=0,1(428571)

Вопрос о периодичности или непериодичности числа нас сейчас не интересует, нам достаточно знать, что не все числа можно представить в виде конечной десятичной дроби. При работе с такими числами мы всегда имеем не точное, а приближенное значение, поэтому ответ получается тоже приближенным. Это нужно учитывать в своих расчетах.

До сих пор мы говорили только о десятичных бесконечных дробях. Но двоичные дроби тоже могут быть бесконечными. Даже более того, любое число, выражаемое конечной двоичной дробью, может быть также выражено и десятичной конечной дробью. Но существуют числа (например, 1/5), которые выражаются конечной десятичной дробью, но не могут быть выражены конечной двоичной дробью. Это и есть наиболее важное отличие аппаратной реализации вещественных чисел от наших интуитивных представлений. Теперь у нас достаточно теоретических знаний, чтобы перейти к рассмотрению конкретных примеров — "подводных камней", приготовленных вещественными числами.

3.2.6. "Неправильное" значение

Самый первый "подводный камень", на котором спотыкаются новички — это то, что вещественная переменная может получить не совсем то значение, которое ей присвоено. Рассмотрим это на простом примере (листинг 3.9, примеp WrongValue на компакт-диске).

Листинг 3.9. Пример присваивания "неправильного" вещественного значения

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

 R: Single;

begin

 R := 0.1;

 Label1.Caption = FloatToStr(F);

end;

Что мы увидим, когда нажмем кнопку? Разумеется, не 0.1, иначе не было бы смысла писать этот пример. Мы увидим 0.100000001490116, т.е. расхождение в девятой значащей цифре. Из справки по Delphi мы знаем, что точность типа Single — 7–8 десятичных разряда, так что нас, по крайнем мере, никто не обманывает. В чем же причина? Просто число 0,1 не представимо в виде конечной двоичной дроби, оно равно 0,0(0011). И эта бесконечная двоичная дробь обрубается на 24-х знаках; мы получаем не 0,1, а некоторое приближенное число (какое именно — см. выше). А если мы присвоим переменной R не 0.1, а 0.5? Тогда мы получим на экране 0.5, потому что 0.5 предоставляется в виде конечной двоичной дроби. Немного поэкспериментировав с различными числами, мы заметим, что точно представляются те числа, которые выражаются в виде m/2n,

где m, n — некоторые целые числа (разумеется, n не должно превышать 24, а то нам не хватит точности типа

Single

). В качестве упражнения предлагаем доказать, что любое целое число, для записи которого хватает 24-х двоичных разряда, может быть точно передано типом

Single

.

Примечание 

Если в этом примере изменить тип переменной

R

с

Single

на

Double

или на

Extended

, на экран будет выведено 0.1. Но это не значит, что в переменную будет записано ровно 0.1 — это просто особенности работы функции

FloatToStr

, которая не учитывает столь малую разницу между 0,1 и переданным ей числом.

3.2.7. Сравнение

Теперь попробуем сравнить значение переменной и константы, которую мы ей присвоили (листинг 3.10, пример Compare1 на компакт-диске).

Листинг 3.10. Пример ошибки при сравнении вещественной переменной и константы

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

 R: Single;

begin

R := 0.1;

 if R = 0.1 then Label1.Caption := 'Равно'

 else Label1.Caption := 'He равно';

end;

При нажатии кнопки мы увидим надпись Не равно. На первый взгляд это кажется абсурдом. Действительно, мы уже знаем, что переменная

R

получает значение 0.100000001490116 вместо 0.1. Но ведь "0.1" в правой части равенства тоже должно преобразоваться по тем же законам, т.к. работает аналогичный алгоритм. Тут самое время вспомнить, что FPU работает только с 10-байтным типом

Extended

, поэтому и левая, и правая часть равенства сначала преобразуется в этот тип, и лишь потом производится сравнение. То число, которое оказалось в переменной

R

вместо 0.1, хотя и выглядит страшно, но зато представляется в виде конечной двоичной дроби. Информация же о том, что это на самом деле должно означать "0.1", нигде не сохранилась. При преобразовании этого числа в

Extended

младшие, избыточные по сравнению с типом

Single

разряды мантиссы просто заполняются нулями, и мы снова получим то же самое число, только записанное в формате

Extended

. А "0.1" из правой части равенства преобразуется в

Extended

без промежуточного превращения в

Single

. Поэтому некоторые из младших разрядов мантиссы будут содержать единицы. Другими словами, мы получим хоть и не точное представление числа 0.1, но все же более близкое к истине, чем 0.100000001490116. 

Из-за таких хитрых преобразований оказывается, что мы сравниваем два близких, но все же не равных числа. Отсюда — закономерный результат в виде надписи Не равно.

Тут уместна аналогия с десятичными дробями. Допустим, в одном случае мы делим 1 на три с точностью до трех знаков и получаем 0,333. Потом мы делим 1 на три с точностью до четырех знаков и получаем 0,3333. Теперь мы хотим сравнить эти два числа. Для этого приводим их к точности в четыре разряда. Получается, что мы сравниваем 0,3330 и 0,3333. Очевидно, что это разные числа.

Если попробовать заменить число 0,1 на 0,5, то мы увидим надпись Равно. Полагаем, что читатели уже догадались, почему, но все же приведем объяснение. Число 0,5 — это конечная двоичная дробь. При прямом приведении ее к типу

Extended

в младших разрядах оказываются нули. Точно такие же нули оказываются в этих разрядах при превращении числа 0,5 типа

Single

в тип

Extended

. Поэтому в результате мы сравниваем два равных числа. Это похоже на процесс деления 1 на 4 с точностью до трех и до четырех значащих цифр. В первом случае получили бы 0,250, во втором — 0,2500. Приведя оба значения к точности в четыре знака, получим сравнение 0,2500 и 0,2500. Очевидно, что эти числа равны.