О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний
Шрифт:
Ньютонова «теория всего»
Это было необычайное достижение. Три закона стали теми зернами, из которых можно было вывести движение всех частиц Вселенной. Они по праву заслуживали названия «теории всего». Я называю их «зернами», потому что труд других ученых потребовался, чтобы взрастить их и применить к более сложным задачам, чем ньютоновская Солнечная система, состоящая из точечных масс. Например, в своем изначальном виде законы движения были непригодны для описания движения менее жестких или деформируемых тел. Уравнения, обобщающие законы Ньютона, предложил великий швейцарский математик XVIII в. Леонард Эйлер. Уравнения Эйлера можно было применять к более общим случаям, например к колеблющейся струне или к качающемуся маятнику.
Появлялось все больше и больше уравнений, управляющих разными природными явлениями. Эйлер создал уравнения
Казалось, что открытием математического анализа и законов движения Ньютон превратил Вселенную в детерминистическую машину с часовым механизмом, управляемую математическими уравнениями. Ученые полагали, что они действительно открыли «теорию всего». Вот как выразил веру большинства ученых в необычайное могущество математики, позволяющее ей рассказать все о физическом мире, математик Пьер-Симон Лаплас в опубликованных в 1814 г. «Опытах философии теории вероятностей»:
Мы должны рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину последующего. Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором [22] .
22
Перевод А. К. Власова.
В столетия, последовавшие за великим произведением Ньютона, мнение о теоретической познаваемости Вселенной, как прошлой, так и настоящей, стало преобладающим среди ученых. Казалось, что всякая мысль о Боге, действующем в мире, совершенно исчезла. Бог, возможно, сыграл свою роль в запуске механизмов Вселенной, но начиная с этого момента его место заняли уравнения математики и физики.
Так как же насчет нашей прозаической игральной кости? Уж наверное, имея в своем распоряжении законы движения, можно будет предсказать исход броска на основе простого сочетания геометрии кубика, начального направления его движения и последующего взаимодействия с поверхностью стола? Я выписал все эти уравнения в свой блокнот, и они выглядят довольно-таки устрашающе.
Ньютон также обдумывал задачу предсказания поведения костей. Его интерес к ней был вызван письмом, которое он получил от Сэмюэла Пипса. Пипс просил Ньютона посоветовать, на что ему следует поставить в пари, которое он собирался заключить со своим другом:
1) что при броске шести костей выпадет хотя бы одна шестерка,
2) что при броске двенадцати костей выпадут по меньшей мере две шестерки или
3) что при броске восемнадцати костей выпадут по меньшей мере три шестерки.
Пипс собирался поставить 10 фунтов (что эквивалентно 1000 фунтов в сегодняшних деньгах) и был бы очень рад получить хороший совет. Интуиция Пипса подсказывала ему, что наиболее вероятен третий вариант, но Ньютон ответил, что с точки зрения математики должно быть справедливо обратное. Ставить следует на первый вариант. Однако для решения этой задачи Ньютон обратился не к своему математическому анализу и законам движения, а к идеям, разработанным Ферма и Паскалем.
Но, даже если бы Ньютон и смог решить выписанные мною уравнения, описывающие траекторию игральной кости, обнаружилась бы еще одна проблема, способная уничтожить всякую надежду на познание будущего моей кости. Хотя Паскаль и говорил о своем пари с Богом, в его анализе есть одна интересная строка, сильно затрудняющая любые попытки познания будущего: «Разум тут ничего решить не может. Нас разделяет бесконечный хаос» [23] .
23
Перевод С. Долгова.
Судьба
Если Ньютон – мой герой, то французский математик Анри Пуанкаре в моей истории о предсказании будущего должен быть злодеем. И все же я не могу винить его за то, что он нанес один из самых сокрушительных ударов всем желающим узнать, что произойдет дальше. Он и сам был не особенно рад своему открытию с учетом того, что оно обошлось ему весьма недешево.
Пуанкаре, родившийся столетием позже Лапласа, разделял веру своего соотечественника во Вселенную, устроенную наподобие часового механизма, управляемую математическими законами и совершенно предсказуемую. «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент».
Понимание устройства мира было, с точки зрения Пуанкаре, главным стимулом занятий математикой. «В математике фактами, заслуживающими изучения, являются те, которые ввиду их сходства с другими фактами способны привести нас к открытию физического закона» [24] .
Хотя законы движения Ньютона породили целый массив математических уравнений, описывающих эволюцию физического мира, большинство таких уравнений все еще чрезвычайно сложно было решить. Возьмем уравнения состояния газа. Газ можно считать состоящим из молекул, сталкивающихся друг с другом как мельчайшие бильярдные шары, и будущее поведение газа теоретически подчиняется законам движения Ньютона. Но само количество таких шариков означает, что любое точное решение этой задачи недостижимо. Статистические или вероятностные методы по-прежнему оставались значительно лучшим средством понимания поведения миллиардов молекул.
24
«Наука и метод», гл. III. Перевод под ред. Л. С. Понтрягина. Если быть точным, в оригинале Пуанкаре пишет: Les faits math'ematiques dignes d’^etre 'etudi'es, ce sont ceux qui, par leur analogie avec d’autres faits, sont susceptibles de nous conduire `a la connaissance d’une loi math'ematique, de la m^eme facon que les faits exp'erimentaux nous conduisent `a la connaissance d’une loi physique, т. е. «В математике фактами, заслуживающими изучения, являются те, которые ввиду их сходства с другими фактами способны привести нас к открытию какого-нибудь математического закона, совершенно подобно тому, как экспериментальные факты приводят к открытию физического закона».
Однако в одном случае число бильярдных шаров было достаточно малым, и решение задачи представлялось достижимым. Речь идет о Солнечной системе. Пуанкаре был одержим вопросами предсказания судьбы планет, кружащихся навстречу своему будущему.
Гравитационное притяжение между одной планетой и другой, находящейся на некотором расстоянии от первой, такое же, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в ее центре тяжести, и потому для определения судьбы, ожидающей Солнечную систему, планеты можно считать точками в пространстве, как делал Ньютон. Это значит, что для описания эволюции Солнечной системы достаточно трех координат, определяющих положение центра масс каждой из планет в пространстве, и еще трех чисел, соответствующих их скорости по каждому из трех пространственных направлений. Сила, воздействующая на каждую планету, определяется гравитационными силами, действующими со стороны всех остальных планет. При наличии всей этой информации остается только применить второй закон Ньютона, чтобы проложить курс этих планет в самое отдаленное будущее.
Единственная проблема состоит в том, что математическое решение все равно остается чрезвычайно сложным. Ньютон решил задачу поведения двух планет (или планеты и Солнца). Они движутся по эллиптическим траекториям, причем общий фокус таких эллипсов расположен в их общем центре тяжести. Это движение повторяется периодически до скончания времен. Однако, попытавшись ввести в задачу третью планету, Ньютон зашел в тупик. Казалось бы, расчет поведения Солнечной системы, состоящей, скажем, из Солнца, Земли и Луны, должен быть достаточно простым, но в нем приходится решать уравнение с 18 переменными: 9 переменными положений (координатами) и 9 составляющими скоростей всех этих небесных тел. Ньютон признавал, что «одновременное рассмотрение всех причин движения и определение такого движения точными законами, допускающими несложные расчеты, превосходит, если я не ошибаюсь, возможности любого человеческого разума».