Открытие без границ. Бесконечность в математике
Шрифт:
Расширив множество рациональных чисел
Вещественная прямая
Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путём, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчёта и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положительные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.
Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа 2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно чётко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.
С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.
С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счётности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.
Кардинальные числа
Кантор столкнулся с проблемой подсчёта бесконечности. Ранее потенциальная бесконечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или последовательности всё новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести понятие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность как ещё одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и полностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой подсчёт совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было, во-первых, чётко определить, что понимается под совокупностью объектов, и, во-вторых, дать математическое определение подсчёту объектов совокупности.
Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил её, что дало возможность вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.
Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых выдающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой теории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы науки. Анри Пуанкаре (1854–1912) как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная
Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать чёткое определение актуальной бесконечности.
Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.
Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идёт о фундаментальном понятии.
СЧЁТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ
Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространённой точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)
Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчёта элементов множества. При счёте мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берём за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчёт, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определённые правила. Например, если даны множество заглавных букв {A, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, c, d, e}, то между ними можно установить следующее отношение:
Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.
На рисунке ниже мы также видим соответствия:
Однако они не удовлетворяют этому правилу.
Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчёта, а также ввёл понятие кардинальности множества.