Открытие без границ. Бесконечность в математике
Шрифт:
Континуум-гипотезу безуспешно пытались доказать многие современники Кантора, в том числе Гильберт, Рассел и Цермело. Венгерский математик Денеш Кёниг (1849–1913) на конгрессе в Гейдельберге в 1904 году представил доказательство ложности континуум-гипотезы. Но Кантор верил своей интуиции и считал, что доказательство Кёнига не может быть истинным, хотя так и не смог найти в нём ошибку. Обнаружил её Цермело, таким образом, вопрос доказательства континуум-гипотезы оставался открытым, и Гильберт включил его в свой знаменитый список из 23 наиболее важных нерешённых задач математики.
В 1963 году американский математик Пол Джозеф Коэн (1934–2007), основываясь на результатах о непротиворечивости аксиом, полученных Гёделем, доказал, что континуум-гипотеза может быть истинной
Несмотря на это некоторые до сих пор считают, что вопрос о доказательстве континуум-гипотезы окончательно не решён, так как ситуацию может изменить новая система аксиом, на которой будет выстроена теория множеств. Более того, пока не появится новая система аксиом, мы не можем гарантировать, что ясно представляем себе, что такое вещественное число.
Американский математик Пол Джозеф Коэн в 1963 году доказал, что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств, решив тем самым одну из важнейших открытых задач математики.
Глава 6. Ад Кантора
Когда люди открывают новые земли, которые предстоит нанести на карты и описать в книгах, они платят за это свою цену, ведь ничего не даётся даром. Некоторые благодаря своим открытиям обретают славу и известность, а другие умирают в абсолютном забвении, так и не узнав, какую важную роль они сыграли.
Детство
Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. Его отец, ГеоргВольдемар Кантор, датчанин по происхождению, переехал в Санкт-Петербург ещё ребёнком. Во взрослые годы он основал процветающее предприятие по торговле импортными тканями. Несколько лет спустя он оставил дело и стал биржевым маклером. Георг-Вольдемар Кантор, глубоко религиозный человек, заработал значительное состояние благодаря терпению, знаниям и самоотречению. Эти же качества он прививал детям, которых воспитывал в духе лютеранской морали. Его женой стала Марианна Бойм, католичка русского происхождения, дочь дирижёра в оркестре Санкт-Петербургской оперы. Георг-Вольдемар Кантор также происходил из семьи с крепкими музыкальными традициями, поэтому неудивительно, что они с женой отводили важное место обучению детей музыке.
Георг Кантор был старшим из четырёх детей. В ранние годы он обучался на дому, а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.
В 1856 году, после перенесённого воспаления лёгких, отец Кантора был вынужден оставить Россию с её суровым климатом и переехать с семьёй в Германию.
Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфурте. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом городке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инженерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в училище в Висбадене.
Георг Кантор, создатель теории множеств, считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.
Отец часто писал Кантору, стремясь воспитать в сыне моральную твёрдость, основанную на религиозных принципах. Среди переписки очень выделяется письмо от 25 мая 1862 года, в котором он, помимо прочего, пишет:
«[…] Часто наиболее многообещающие личности сдаются, столкнувшись с незначительными трудностями, возникающими при решении практических вопросов. Они оказываются абсолютно сломленными и в лучшем случае переживают серьёзное потрясение… Поверь мне, дорогой сын: твоим самым близким, верным и опытным другом, который должен жить в тебе и укреплять твоё сердце, должен быть дух истинной веры… Чтобы предупредить все возможные проблемы и трудности, которые неизбежно возникнут по причине зависти и злословия тайных и явных недоброжелателей, вызванных стремлением к успеху в нашем деле или торговле, чтобы успешно справиться с ними, тебе прежде всего потребуется обрести как можно больше знаний и умений… Закончу письмо такими словами: твой отец, вернее твои родители и все остальные члены нашей семьи и в Германии, и в России, и в Дании смотрят на тебя как на старшего сына и ожидают, что твоя звезда ярко засияет на небосводе науки. Да дарует тебе Господь здоровья, сил, твёрдости характера и да пребудет с тобой его благословение. Неизменно следуй Его путём.
Аминь!»
В этом письме Георг-Вольдемар Кантор во многом предугадал дальнейший жизненный путь сына. Вне сомнений, он был достаточно умным человеком и понимал, что его увлечённый математикой сын отличается беспокойной и творческой натурой.
Отец хотел подготовить юношу к возможным трудностям, с которыми тому предстояло столкнуться. И в том же году он разрешает сыну начать заниматься математикой. В ответ будущий учёный с благодарностью пишет:
«Дорогой отец, представьте себе, с каким удовольствием я прочёл ваше письмо. Оно определило моё будущее… Теперь я счастлив, поскольку вижу, что вам придётся по душе, если я последую своему желанию. Ожидаю, что вы, дорогой отец, найдёте удовольствие в моём поведении, так как моя душа и всё моё существо живёт в моём призвании. То, что хочет совершить человек и к чему его толкает его внутреннее стремление, обязательно исполнится».
Кантор, как и всякий юноша, которому семейство разрешило заниматься любимым делом, чувствовал по отношению к родным глубокую благодарность. Некоторые биографы сходятся на том, что безоговорочное подчинение Кантора отцу стало одной из важнейших причин, по которой учёный всегда очень неуверенно чувствовал себя в университетских кругах.
В 1862 году он начал изучать математику, философию и физику в университете Цюриха, однако его обучение было недолгим: после смерти отца в июне 1863 года Кантор перевёлся в Берлинский университет. Интересно, что после этого он ни разу не упоминал об отце.
До начала XIX века центром математики была Франция, однако в годы юношества Кантора она уступила место Германии. Учителями Кантора были Кронекер, Куммер и Вейерштрасс. Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал и самым суровым критиком идей учёного, но наибольшее влияние на Кантора оказал Вейерштрасс.
Большинство работ Кантора, изданных в тот период, были посвящены арифметике и алгебре. Летом 1866 года учёный вошёл в математические круги Гёттингенского университета — одного из престижнейших центров математики в Европе.
По возвращении в Берлин Кантор стал членом группы молодых математиков, которые каждую неделю собирались в баре, чтобы поговорить о своей работе в неформальной обстановке. В 1867 году Кантор защитил докторскую диссертацию, в которой подробно проанализировал «Арифметические исследования» Гаусса.
Во введении к его работе содержится фраза, выражающая неспокойный дух человека, который в будущем стал одним из самых заметных математиков в истории науки: «В математике искусство ставить задачи намного важнее, чем искусство решать их».