Открытие без границ. Бесконечность в математике

Грасиан Энрике

Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.

Но если одно множество состоит из четырёх элементов, а другое — из трёх, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остаётся без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.

Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое

число элементов.

Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:

|A| - |N| = 6.

Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать чёткое определение бесконечному множеству.

Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.

Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.

На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычайной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным подмножеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например {a, b, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами собственных подмножеств А будут:

{а} {а, b} {а, b, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.

В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соответствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем само множество.

Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим 

— множество всех натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми чётными числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу n нужно поставить в соответствие это же число, умноженное на 2.

n -> 2n

В соответствии с этим

1 -> 2

2 -> 4

3 -> 6

…

Иными словами, каждому натуральному числу соответствует чётное число и, напротив, каждому чётному числу соответствует натуральное число. Это означает, что кардинальность этих множеств одинакова, и

утверждение «существует столько же натуральных чисел, сколько чётных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоречит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множества звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно установить взаимно однозначное соответствие.

В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), — это уже не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является бесконечным.

Путём аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных чисел

и множество целых чисел 

имеют одинаковую кардинальность. Чтобы подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между ними, сопоставив всем положительным числам чётные, а всем отрицательным — нечётные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натуральных.

Счётные множества

Кантор также сформулировал очень важное понятие счётного множества. По определению, множество А называется счётным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством

. В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.

Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о взаимно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и множеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.

Мы уже показали, что множество целых чисел является счётным. Далее Кантор получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел 

также является счётным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел, сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и рациональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остаётся только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том, что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной интуиции.

Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идёт о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдём все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдём все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом: