П.С.Александров. Страницы автобиографии

Неизвестно

Научная работа не была равномерно развивавшимся в течение моей жизни непрерывным процессом: она осуществлялась несколькими бывшими в моей жизни большими подъёмами, как бы пиками, между которыми лежали периоды по существу пассивные. Эти подъёмы научной активности, сопровождавшиеся осуществлением работ, представляющимися мне наиболее значительными из сделанных мною, совпадали у меня и с общими эмоциональными подъёмами моей жизни. Это были:

Лето 1915 г. (мощность борелевских множеств и A– операция).

Длительный подъём, начавшийся в мае 1922 г. и закончившийся в августе 1924 г. (основные работы по общей топологии).

Период построения гомологической теории компактов, начавшийся в августе 1925 г. определением нерва системы множеств и закончившийся весною 1928 г. работой «Gestalt und Lage».

Гомологическая

теория размерности (первое полугодие 1930 г.).

Период «казанской» работы (январь–май 1942 г.). Сопровождавший её эмоциональный подъём (если его вообще можно так назвать) был своеобразен: он состоял в остром переживании войны во всю меру доступного мне восприятия её жестокого трагизма.

Зима 1946–1947 гг.— работа о теоремах двойственности незамкнутых множеств.

Эту работу я считаю своей последней значительной работой. Будучи последним большим подъёмом моей собственной математической активности, она к счастью не была последним подъёмом моей жизненной активности вообще. Но в дальнейшем мои общежизненные подъёмы вкладывались уже не в мои собственные работы, а в радость, вызванную работами моих учеников, последние два раза — работами В. И. Зайцева и Е. В. Щепина.

Итак, была самая пора, чтобы у меня появился новый ученик, и им стал в 1948 г. Кирилл Александрович Ситников (Кира). Он был ещё студентом. Его блестящие математические способности обнаружились в первых его работах (о затухающих отображениях, так называемая работа о мешках и скоро последовавшая за нею работа о поясах). Эти работы, из которых первая стала потом кандидатской диссертацией, я считаю самыми яркими достижениями того времени в топологии компактов и в частности, в гомологический теории размерности. В этих работах со всей силой обнаружился яркий геометрический талант Ситникова.

Его личность, вообще сложная и, я бы сказал, довольно дисгармоничная, обладала и своеобразным обаянием. В целом я очень обрадовался тому, что К. Ситников стал моим учеником. Андрею Николаевичу он тоже понравился, и во второй половине лета 1948 г. мы предложили К. Ситникову поехать с нами на Волгу, в Калязин, имея в виду там хорошо поплавать и погрести на лодке. Кира, природный волжанин (уроженец города Горького), охотно согласился на наше предложение, и наша поездка состоялась. Мы пробыли в Калязине около месяца. Вместе с нами по приглашению А. Н. Колмогорова там был и однокурсник К. Ситникова Ю. В. Прохоров, оказавшийся тоже очень способным математиком, с успехом занимавшимся под руководством А. Н. Колмогорова теорией вероятностей. Впоследствии Ю. В. Прохоров стал, как известно, академиком. Ю. В. Прохоров принимал участие и в наших лодочных прогулках, занимавших большую часть нашего времени и в Калязине. В целом и в частностях всё наше путешествие оказалось очень удачным и доставило много удовольствия всем его участникам.

После работ по топологии компактов К. Ситников доказал свой замечательный закон двойственности для незамкнутых множеств, продвинувшись здесь значительно дальше меня. Кроме того, он по существу положил начало гомологической теории размерности незамкнутых множеств, доказав в этой области фундаментальную теорему и построив очень интересные примеры. Эта работа стала его докторской диссертацией. Однако блестящая деятельность К. А. Ситникова в области топологии продолжалась всего 3–4 года, после чего он, по совету А. Н. Колмогорова, занялся небесной механикой, где получил прекрасные результаты. Затем его научная активность стала понижаться и уже не достигала уровня его прежних работ.

К. Ситников на ряд лет сделался постоянным участником комаровского дома.

Приблизительно одновременно с Ситниковым начал работать в области топологии и О. В. Локуциевский, построивший в 1948 г. свой знаменитый пример бикомпакта с несовпадающими размерностями (индуктивной и лебеговой). Ю. М. Смирнов успешно продолжал ранее начатую продуктивную работу в топологии, приведшую его к ныне классической метризационной теореме (теорема Бинга–Нагата–Смирнова), составившей его блестящую

Осенью 1953 г. коллектив под названием «Комаровский дом» пополнился ещё одним сочленом, до сих пор поддерживающим с ним самую тесную связь. Это был Володя (ныне профессор Владимир Иванович Пономарёв), которому тогда ещё шёл семнадцатый год. Вполне выдержав вступительное испытание, состоявшее в купании в уже очень холодной осенней Клязьме, Володя стал постоянно бывать в Комаровке. Он был десятиклассником и ещё не выбрал себе дальнейшего пути. Его учитель математики,

в общем вовсе не плохой, говорил ему, что математика из него во всяком случае не выйдет и никак не советовал ему избирать этот тернистый путь. Тем не менее я, когда учебный 1953–1954 год стал приближаться к концу, однажды завёл с Володей серьёзный математический разговор, вполне остававшийся в пределах тогдашних программ средней школы, но касавшийся таких деликатных материй, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, равновеликость пирамид (так называемая чёртова лестница) и т.п. Обнаружив, что Володя действительно хорошо разбирается в понятии предела, я перешёл к тому, чтобы, так сказать, навести Володю на овладение понятием непрерывной функции. Потом (кажется, уже во втором разговоре) мы перекинулись совсем в другую область и совместными усилиями овладели понятием группы. В общем, в результате этих разговоров (их было по меньшей мере три), я пришёл к убеждению, что Володе Пономарёву надо поступать на наш механико-математический факультет. Володя вступительный экзамен выдержал (с пятёрками по математике и химии, других отметок сейчас не помню) и был принят в 1954 г. на наш факультет. Так же хорошо выдержали экзамен и тоже естественно, были приняты два других мальчика — Шурик Архангельский и Боря Пасынков. Боря был ровесником Володи, а Шурик на год моложе. В Университете они скоро подружились, на втором курсе писали хорошие курсовые работы по топологии (в те далёкие времена курсовые работы писались уже на втором курсе) и образовали третье поколение моих учеников. И если Володя в студенческие годы много времени просто проводил в Комаровке, то Боря и Шурик были её постоянными гостями.

К той же возрастной категории, что и третье поколение моих учеников, относится и Аркадий Анатольевич Мальцев (род. в 1935 г.). Формально он моим учеником не был (он проходил аспирантуру под официальным руководством К. А. Ситникова). Но кандидатская диссертация А. А. Мальцева относится к кругу идей гомологической теории размерности и была близка моим математическим интересам. Поэтому естественно, что я считаю Аркадия Мальцева своим учеником, а — в плане личных отношений — он является одним из самых близких мне моих учеников. Как бы подпочвой наших дружеских отношений всегда была моя старая дружба с отцом Аркадия — Анатолием Ивановичем Мальцевым. Отношения мои с Аркадием образуют плавную, без всяких колебаний, постоянно восходящую кривую и захватывают всё более и более глубокие пласты моей жизни.

Б. Пасынков, А. Архангельский и В. Пономарёв последовательно защищают свои докторские диссертации в 1964–1966 гг. Всем им в момент защиты ещё не было и по 30 лет. Каждая из этих диссертаций представляла собою серьёзный вклад в общую топологию, а их защиты одна за другой составили в их совокупности значительное явление в жизни Московской топологической школы.

В самом начале 60-х годов эта школа пополнилась ещё двумя сочленами: учеником А. В. Архангельского В. В. Филипповым и В. В. Федорчуком.

Что касается меня лично, то ещё раз скажу, что моей последней действительно значительной работой была моя работа 1947 г. о законах двойственности для незамкнутых множеств. После этого я написал только работу по метризации топологических пространств, содержащую новый и неожиданный подход к этой старой проблеме и этим представляющей быть может некоторый интерес. Подход этот был продолжен и доведён до полного завершения А. В. Архангельским. Кроме того, я написал три работы совместно с Пономарёвым, в которых, однако, был только, так сказать, режиссёром: основные математические идеи в этих работах принадлежат В. Пономарёву. По окончании своей собственно математической деятельности я написал несколько (как мне кажется хороших) обзорных статей, последняя из которых, недавно вышедшая в соавторстве с В. В. Федорчуком под заглавием «Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии», содержит, в частности, довольно обстоятельный обзор основных результатов моих названных выше учеников.

В 1963 г. моим учеником делается В. И. Зайцев (Витя), скоро начинающий получать первоклассные математические результаты, также изложенные в моём, совместном с Федорчуком обзоре. Некоторые из самых основных результатов моих учеников А. В. Архангельского, В. И. Пономарёва и В. И. Зайцева, а также, конечно, метризационная теорема Нагата–Смирнова вошли в мой учебник «Введение в теорию множеств и общую топологию». Результаты московских топологов по теории размерности изложены в книге «Введение в теорию размерности», совместно написанную Б. А. Пасынковым и мною.