Порядок из хаоса

Пригожин Илья Романович

Каким образом подобный вывод можно совместить с динамикой? Как известно, в динамике «информация» сохраняется, в то время как цепи Маркова, забывая предысторию, утрачивают информацию (вследствие чего энтропия возрастает; см. гл. 8). Никакого противоречия здесь нет: когда от динамического описания «преобразования пекаря» мы переходим к термодинамическому описанию, нам приходится изменять функцию распределения. Связано это с тем, что «объекты», в терминах которых энтропия возрастает, отличаются от объектов, рассматриваемых в динамике. Новая функция распределения r соответствует внутренне ориентированному во времени описанию динамической системы. Мы не можем останавливаться на математических аспектах перехода от старой функции распределения к новой. Скажем лишь, что преобразование, переводящее одну функцию распределения в другую, должно быть неканоническим (см. гл. 2). Следовательно, прийти к термодинамическому

описанию мы можем лишь ценой отказа от обычных понятий динамики.

Примечательно, что такое преобразование существует, в результате чего оказывается возможным объединить динамику и термодинамику, физику бытия и физику становления. Позднее в этой главе и в заключительном разделе книги мы еще вернемся к новым термодинамическим объектам. Подчеркнем лишь, что в состоянии равновесия всякий раз, когда энтропия достигает своего максимума, эти объекты должны вести себя случайным образом.

Заслуживает внимания и то, что необратимость возникает, так сказать, из неустойчивости, наделяющей наше описание неустранимыми статистическими особенностями. Действительно, что означала бы стрела времени в детерминистическом мире, в котором и прошлое и будущее содержатся в настоящем? Стрела времени ассоциируется с переходом из настоящего в будущее именно потому, что будущее не содержится в настоящем и мы совершаем переход из настоящего в будущее. Построение необратимости на основе случайности чревато многими последствиями, выходящими за рамки собственно естествознания. Этих последствий мы коснемся в заключительном разделе нашей книги, а теперь кратко поясним, в чем заключается различие между состояниями, разрешенными вторым началом, и состояниями, которые второе начало запрещает.

6. Энтропийный барьер

Время течет в одном направлении: из прошлого в будущее. Мы не можем манипулировать со временем, заставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей «Тысячи и одной ночи» до Герберта Уэллса с его «Машиной времени». В небольшом произведении В. Набокова «Посмотри на арлекинов!»^[234] описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы «повернуть время вспять». В пятом томе своего капитального труда «Наука и цивилизация в Китае» Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: «свою высшую цель те видели не в превращении металлов в золото, а в манипулировании временем, достижении бессмертия путем резкого замедления всех процессов распада в природе^[235]. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно «повернуть назад».

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ничего другого, как расстаться с мечтой о машине времени, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существование предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физическим представлениям, мы никогда не сможем превзойти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением числа соответствующее значение H-функции. Можно утверждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем выше информационное содержание, тем труднее реализовать его носитель. Покажем, что начальное распределение, запрещенное вторым началом, обладало бы бесконечно большим информационным содержанием. Именно поэтому такие запрещенные распределения невозможно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим вероятность Р_равн(k) попасть в нее в равновесном состоянии и вероятность Р(k,t) оказаться в ней в неравновесном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) иР_равн(k) . В состоянии равновесия, когда различие между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с «преобразованием пекаря» и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходимо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39)

и что в исходном состоянии система находилась в момент времени t_i. Согласно нашей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=t_i до t=2. На рис. 39 мы видим, что, когда t_i отходит в прошлое, ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз t_i– =1, 0, —1 и, наконец, t_i=—2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Рис. 41. Растягивающиеся (последовательность А) и сжимающиеся (последовательность С) слои пересекают различное число клеток («ящиков»), на которые разделено фазовое пространство «преобразования пекаря». Все «квадраты», принадлежащие данной последовательности, относятся к одному моменту времени t=2, но число клеток, на которые разделен каждый квадрат, зависит от начала отсчета времени системы t_i.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательность А), либо сжимающийся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига t_i в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при t_i=—1 он занимает 4 ячейки, при t_i=—2 — уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный «ответ», даже если число ячеек неограниченно возрастает при t_i– >?.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых t_i всегда локализован в 4 ячейках. Это приводит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда t_i уходит в прошлое. Таким образом, различие между динамической системой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бесконечно много ячеек. Приготовить или наблюдать можно лишь такие меры или вероятности, которые в пределе при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои^[236]. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точке в неустойчивой системе, соответствовали бы бесконечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе начало выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были произвольными. Для неустойчивых систем произвол исключается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в «преобразовании пекаря» для вычисления информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные условия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настолько важным, что мы хотели бы привести еще один пример, на этот раз связанный с динамикой корреляций.