Приглашение в теорию чисел
Шрифт:
Переводы этих ребусов таковы:
1. «Шлите больше золотых монет», 2. «Фокус — Покус — Престо», 3. «Сорок + десять + десять = шестьдесят», 4. «Адам и Ева на плоту», 5. «Смотри, смотри, смотри. Да! Легко».
Если хотите, попробуйте придумать свои ребусы. Если вы знакомы с ЭВМ, то попытайтесь запрограммировать решение таких задач.
ГЛАВА 7
СРАВНЕНИЯ
§ 1.
Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.
Прежде чем мы обратимся к понятию сравнения, сделаем одно замечание о числах, которые будем изучать в этой главе. Мы начали эту книгу, заявив, что будем рассматривать целые положительные числа 1, 2, 3…, и в предыдущих главах мы ограничивались только этими числами и дополнительным числом 0. Но теперь мы достигли стадии, на которой целесообразно расширить наши границы, рассматривая все целые числа:
0, ±1, ±2, ±3….
Это никоим образом не повлияет на наши предыдущие понятия; далее, когда мы будем говорить о простых числах, делителях, наибольших общих делителях и тому подобном, мы будем считать их целыми положительными числами.
Теперь вернемся к языку сравнений. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на число m, мы выражаем это записью
a ≡ b (mod m) (7.1.1)
которая читается так:
а сравнимо с b по модулю m.
Делитель m мы предполагаем положительным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (7.1.1) означает, что
a — b = mk, где k — целое число. (7.1.2)
Примеры.
1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 3;
2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9 4;
3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8 (-2);
4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 3.
Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать
a ≡ 0 (mod m),
так как это означает, что
а — 0 = а = mk,
где k — некоторое целое число. Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать
a ≡ 0 (mod 2).
Таким же образом видно,
а ≡ 1 (mod 2).
Эта несколько странная терминология является довольно обычной для математических работ.
§ 2. Некоторые свойства сравнений
Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства:
a ≡ a (mod m); (7.2.1)
это является следствием того, что
а — а = m — 0,
a ≡ b (mod m) означает, что и b a (mod m). (7.2.2)
Это следует из того, что b — a = — (а — b) = m(—k).
Из
а ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m) (7.2.3)
следует, что а ≡ c (mod m), потому что первые два утверждения означают, что
а — b = mk, b — с = ml,
поэтому
а — с = (а — b) + (b — с) = m (k + l).
Пример. Из того, что 13 ≡ 35 (mod 11) и 35 ≡ — 9 (mod 11) следует, что 13 ≡ — 9 (mod 11).
Мы говорили, что сравнения похожи по своему свойству на равенства. В действительности, мы можем рассматривать равенства как тип сравнения, а именно, сравнения по модулю 0. По определению,
а ≡ b (mod 0)
означает, что
a — b = 0 k = 0
или
а = b.
Вы почти никогда не встретите такую форму сравнения для записи уравнений в математической литературе. Но существует другое сравнение, очевидно, довольно тривиальное, которое иногда используется. Когда модуль есть число m = 1, мы имеем, что
a ≡ b (mod 1) (7.2.4)
для любой пары целых чисел а и b, так как это означает, что