Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта

Братко Иван

минимакс( Поз, ЛучшПоз, Оц)

где

Оц 

— минимаксная оценка позиции

Поз

, а

ЛучшПоз

 — наилучшая позиция-преемник позиции

Поз

(лучший ход, позволяющий достигнуть оценки

Оц

). Отношение

ходы( Поз, СписПоз)

задает разрешенные ходы игры:

СписПоз

 — это список разрешенных позиций-преемников позиции

Поз

. Предполагается, что цель

ходы

имеет неуспех, если

Поз

является терминальной поисковой позицией (листом дерева поиска). Отношение

лучш( СписПоз, ЛучшПоз, ЛучшОц)

выбирает из списка позиций-кандидатов

СписПоз

"наилучшую"

позицию

ЛучшПоз

.

ЛучшОц

 — оценка позиции

ЛучшПоз

, а следовательно, и позиции

Поз

. Под "наилучшей" оценкой мы понимаем либо максимальную, либо минимальную оценку, в зависимости от того, с чьей стороны ожидается ход.

15.3. Альфа-бета алгоритм: эффективная реализация минимаксного принципа

Программа, показанная на рис. 15.3, производит просмотр в глубину дерева поиска, систематически обходя все содержащиеся в нем позиции вплоть до терминальных; она вычисляет статические оценки всех терминальных позиций. Как правило, для того, чтобы получить правильную минимаксную оценку корневой вершины, совсем не обязательно проделывать эту работу полностью. Поэтому алгоритм поиска можно сделать более экономным. Его можно усовершенствовать, используя следующую идею. Предположим, что у нас есть два варианта хода. Как только мы узнали, что один из них явно хуже другого, мы можем принять правильное решение, не выясняя, на сколько в точности он хуже. Давайте используем этот принцип для сокращения дерева поиска рис. 15.2. Процесс поиска протекает следующим образом:

(1) Начинаем с позиции а.

(2) Переходим к b.

(3) Переходим к d.

(4) Берем максимальную из оценок преемников позиции d, получаем V(d) = 4.

(5) Возвращаемся к b и переходим к e.

(6) Рассматриваем первого преемника позиции e с оценкой 5. В этот момент МАКС (который как раз и должен ходить в позиции e) обнаруживает, что ему гарантирована в позиции e оценка не меньшая, чем 5, независимо от оценок других (возможно, более предпочтительных) вариантов хода. Этого вполне достаточно для того, чтобы МИН, даже не зная точной оценки позиции e, понял, что для него в позиции b ход в e хуже, чем ход в d.

На основании приведенного выше рассуждения мы можем пренебречь вторым преемником позиции e и приписать e приближенную оценку 5. Приближенный характер этой оценки не окажет никакого влияния на оценку позиции b, а следовательно, и позиции а.

На этой идее основан знаменитый альфа-бета алгоритм, предназначенный для эффективной реализации минимаксного принципа. На рис. 15.4 показан результат работы альфа-бета алгоритма, примененного к нашему дереву рис. 15.2. Из рис. 15.4 видно, что некоторые из рабочих оценок стали приближенными. Однако этих приближенных оценок оказалось достаточно для того, чтобы определить точную оценку корневой позиции. Сложность поиска уменьшилась до пяти обращений к оценочной функции по сравнению с восемью обращениями (в первоначальном дереве поиска рис. 15.2).

Как уже говорилось раньше, ключевая идея альфа-бета отсечения состоит в том, чтобы найти ход не обязательно лучший, но "достаточно хороший" для того, чтобы принять правильное решение. Эту идею можно формализовать, введя два граничных значения, обычно обозначаемых через Альфа и Бета, между которыми должна заключаться рабочая оценка позиции. Смысл этих граничных значений таков: Альфа — это самое маленькое значение оценки, которое к настоящему моменту уже гарантировано для игрока МАКС; Бета —

это самое большое значение оценки, на которое МАКС пока еще может надеяться. Разумеется, с точки зрения МИН'а, Бета является самым худшим значением оценки, которое для него уже гарантировано. Таким образом, действительное значение оценки (т.е. то, которое нужно найти) всегда лежит между Альфа и Бета. Если же стало известно, что оценка некоторой позиции лежит вне интервала Альфа-Бета, то этого достаточно для того, чтобы сделать вывод: данная позиция не входит в основной вариант. При этом точное значение оценки такой позиции знать не обязательно, его надо знать только тогда, когда оценка лежит между Альфа и Бета. "Достаточно хорошую" рабочую оценку V( P, Альфа, Бета) позиции P по отношению к Альфа и Бета можно определить формально как любое значение, удовлетворяющее следующим ограничениям:

V( P, Альфа, Бета) ≤ Альфа если V( P) ≤ Альфа

V( P, Альфа, Бета) = V( P) если Альфа < V( P) < Бета

V( P, Альфа, Бета) ≥ Бета если V( P) ≥ Бета

Рис. 15.4. Дерево рис. 15.2 после применения альфа-бета алгоритма. Пунктиром показаны ветви, отсеченные альфа-бета алгоритмом для экономии времени поиска. В результате некоторые из рабочих оценок стали приближенными (вершины c, e, f; сравните с рис. 15.2). Однако этих приближенных оценок достаточно для вычисления точной оценки корневой вершины и построения основного варианта.

Очевидно, что, умея вычислять "достаточно хорошую" оценку, мы всегда можем вычислить точную оценку корневой позиции P, установив границы интервала следующим образом:

V( P, -бесконечность, +бесконечность) = V( P)

На рис. 15.5 показана реализация альфа-бета алгоритма в виде программы на Прологе. Здесь основное отношение —

альфабета( Поз, Альфа, Бета, ХорПоз, Оц)

где

ХорПоз

 — преемник позиции

Поз

с "достаточно хорошей" оценкой

Оц

, удовлетворяющей всем указанным выше ограничениям:

Оц

= V( Поз, Альфа, Бета)

Процедура

прибл_лучш( СписПоз, Альфа, Бета, ХорПоз, Оц)

находит достаточно хорошую позицию

ХорПоз

в списке позиций

СписПоз

;

Оц

 — приближенная (по отношению к

Альфа

и

Бета

) рабочая оценка позиции

ХорПоз

.

Интервал между Альфа и Бета может сужаться (но не расширяться!) по мере углубления поиска, происходящего при рекурсивных обращениях к альфа-бета процедуре. Отношение

нов_границы( Альфа, Бета, Поз, Оц, НовАльфа, НовБета)

определяет новый интервал

(НовАльфа, НовБета)

. Он всегда уже, чем старый интервал

(Альфа, Бета)

, или равен ему. Таким образом, чем глубже мы оказываемся в дереве поиска, тем сильнее проявляется тенденция к сжатию интервала Альфа-Бета, и в результате оценивание позиций на более глубоких уровнях происходит в условиях более тесных границ. При более узких интервалах допускается большая степень "приблизительности" при вычислении оценок, а следовательно, происходит больше отсечений ветвей дерева. Возникает интересный вопрос: насколько велика экономия, достигаемая альфа-бета алгоритмом по сравнению с программой минимаксного полного перебора рис. 15.3?