Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Подставляя в первое уравнение, найдем

 Следовательно,

откуда получаем x₁ = ¹⁶/₈₁, у₁ = ⁴/₉. Проверкой убеждаемся, что это — решение

исходной системы.

Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.

Ответ. (¹⁶/₈₁, ⁴/₉), (1, 1).

11.23. Так как

то

Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив

 получим

(21 - 2u)(16 - u) - 2u^3 = 71,

а после раскрытия скобок

u = 5, т. е. y = 2.

Остальные неизвестные находятся легко.

Ответ. (2, 2, 1).

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2^{x + 2у} (x · 2^{x– y + 1} + 3y · 2^{2x + y}) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2^{x + 2у + 1} = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = -2y– 1.

После подстановки в первое уравнение системы получим

2^{– 3y– 3} = ¹/_{– 4 - 5y}, или 2^{3(y + 1)} = -(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

– (4 + 5у) > 0, т. е. y < -⁴/₅.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < -1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е.
– (4 + 5у) < 1, откуда y > -1. Поскольку ограничения y < -1 и y > -1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > -1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < -1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = -1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, -1).

11.25.

Первое уравнение системы можно переписать в виде

log₈ (y– x)^3 = log₈ (3y– 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y– x)^3 = (3y– 5х)(х^2 + y^2).

Если x /= 0, то разделим последнее уравнение почленно на x^3 и обозначим ^y/_x = u. Получим уравнение относительно u:

u^3– 5u^2 + 6u = 0,

которое имеет корни: u₁ = 0, u₂ = 2, u₃ = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = -5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = 5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x^2 = 1/2 , откуда

x =±¹/₂, y = ±³/₂

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = ¹/₂, y = ³/₂.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (-1, -2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (-5, 0); (¹/₂, ³/₂); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3: