Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
где y = logk x. Последнее неравенство можно переписать так:
Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:
y < -1, y > 0.
Вспоминая, что y = logk x
Ответ. 0 < x < 1, x > 1/k.
10.40. Поскольку 4x– 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств
Решая второе неравенство системы, найдем x > log2 7.
Третье неравенство перепишем в виде системы
решением которой будет интервал log2 6 < x <= log23. Так как log2 7 > log2 6, то получим решение данного неравенства.
Ответ. log2 7 < x <= log2 3.
10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:
Знаменатель всегда положителен. Поэтому
|х^2 - 4x| + 3 >= x^2 + |x– 5|,
остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.
Если x < 0, то получаем систему
которой удовлетворяет полупрямая x <= - 2/3 .
Если 0 <= x <= 4, приходим к системе
решением которой будет отрезок 1 < x < 2.
Если 4 < x <= 5, то наше неравенство примет вид x^2 - 4x + 3 >= x^2 + 5 - x, откуда x <= - 2/3 . Это не удовлетворяет условию 4 < x <= 5, а потому в данном случае решений нет.
Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x <= 8/5. Здесь снова нет решений.
Ответ. x < - 2/3 ; 1/2 <= x <= 2.
10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x^3 - 7 > 0, а также x– 1 > 1 и (x - 1)^2 > 1. Данное неравенство равносильно такому:
Так как x– 1 > 0, то
После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: -4x^2 + 5x + 3/2 >= 0, имеющему решения - 1/4 < x < 3/2. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.
Ответ. Решений нет.
10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо
log2 (2 - 2x^2) > 0, т. е. 2 - 2x^2 > 1, 2|x| < 1,
откуда
0 <= 2|x| < 1 и -1 <= 2|x| - 1 < 0.
Следовательно, |2|x| - 1| <= 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если
log2 (2 - 2x^2) >= 1, или 2 - 2x^2 >= 2, -x^2 >= 0,
т. е. x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является решением неравенства.
Ответ. x = 0.
10.44. Так как
Обозначив log3 x + 1/x– 1 = y, получим log2 y < 0, откуда
0 < y < 1, т. е. 0 < log3 x + 1/x– 1 < 1,
а потому 1 < x + 1/x– 1 < 3.
Последнее неравенство можно записать так:
(x + 1/x– 1– 1)(x + 1/x– 1 - 3) < 0
(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).
После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим
x– 2/(x– 1)^2 > 0,
откуда x > 2.
Ответ. x > 2.
10.45. Если 0 < x^2 - 1 < 1, то придем к системе
Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:
откуда 1 < x < 2.