Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

(1 - u)(v– 1) > 0 или -uv + u + v– 1> 0.

С другой стороны, для чисел u, v и e выполняется неравенство

т. е. uv + w >= 2. Складывая это неравенство с неравенством - uv + u + v – 1 > 0, получим

u + v + w > 3,

или ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a > 3.

Способ 2. Пусть u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее из них: u > w, v > w. Так как u и w — положительные числа, то на них можно умножить неравенство v > w:

v(u - w) > w(u– w), т. е. uv– vw + w^2 > uw.

Поделим последнее неравенство на uw:

^v/_w– ^v/_u + ^e/_u > 1.

С другой стороны,

^u/_v + ^v/_u >= 2.

Складывая с предыдущим неравенством, получим

^u/_v + ^v/_w + ^w/_u > 3.

Если с — наименьшее из чисел а, b и с, то полагаем w = с, u = а, v = b и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если а или b — наименьшее из чисел а, b и с, то обозначения соответственно изменятся.

Способ 3. Пусть b = с + d₁, а = b + d₂ (d₁ > 0, d₂ > 0, т. е. а > b > с). Тогда

Это

решение обобщается на случай n чисел:

т. е.

10.10. Воспользуемся формулой Герона и применим к сомножителям p– а, p– b, p– с неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел (p– а + p– b + p– с = 3p– 2p = p):

В условие входит величина 4S, для которой мы и проведем дальнейшие оценки

Выделим в числителе слагаемое 3(а^2 + b^2 + с^2), а излишек в 2(а^2 + b^2 + с^2) используем для образования полных квадратов, которые поглотили бы все попарные произведения:

и тем самым неравенство доказано.

10.11. Оценим левую часть неравенства:

(x– 1)(x– 3)(x– 4)(x– 6) + 10 = (х^2 - 7х + 6)(х^2 - 7х + 12) + 10 = [(х^2 - 7х + 9) - 3][(х^2 - 7х + 9) + 3] + 10 = (х^2 - 7х + 9)^2 - 9 + 10 = (х^2 - 7х + 9)^2 + 1 >= 1.

10.12. Подставляя в первое уравнение x^2 вместо yz, преобразуем систему следующим образом:

Числа y и z являются корнями квадратного уравнения относительно u:

u^2 + (x– х^3)u + x^2 = 0.

По условию числа x и z действительные. Следовательно, дискриминант 

D = (x– x^3)^2 - 4x^2 = x^2(1 - x^2)^2 - 4x^2 = x^2[(1 - x^2)^2 - 4]

должен быть неотрицательным.

Так как по условию x /= 0, то

(1 - x^2)^2 >= 4.

Это неравенство может выполняться, если либо 1 - x^2 <= -2, либо 1 - x^2 >= 2. Второе неравенство не имеет решений, а из первого получаем x^2 >= 3, что и требовалось доказать.