Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:

(1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2 = (1 - а^2 + b^2 - 2b)(1 - а^2 + b^2 + 2b) = [(1 - b)^2 - а^2][(1 + b)^2 - а^2] = (1 - b– а)(1 - b + а)(1 + b– а)(1 + b + а).

Так

как а > b > 0 и а + b < 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.

Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v > 0. Имеем а^2 - b^2 = (а– b)(а + b) < а– b < а– b + 2b = а + b < 1. Следовательно, 1 - а^2 + b^2 > 0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v > 0. Так как а > b, то очевидно, что и u > 0.

Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а > b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.

Неравенство

 очевидно.

Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.

Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin , y = sin , где 0 < < /₂, 0 < < /₂. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 < x < 1, 0 < y < 1. Получим систему

Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем

Так как по условию 0 < а + b < 1 и 0 < а– b < 1, а на и были наложены ограничения 0 < < /₂, 0 < < /₂, то можно написать

или

Из первой системы получим

Найдем sin ₁ и sin ₁:

где = arcsin (а + b), = arcsin (а– b). (При

выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на и : 0 < < /₂, 0 < < /₂.) Продолжим преобразования:

Нетрудно убедиться в том, что

[1 - (а + b)^2][1 - (а– b)^2] = (1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2.

Аналогично найдем sin _1^, а также sin ₂ и sin ₂.

Ответ. Если а > b > 0, а + b < 1, то система имеет два решения:

9.30. Наряду с решением x₁, y₁, z₁ система обязательно имеет решение -х₁, -у₁, z₁. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.

Подставляя x = y = 0 в исходную систему, получим

откуда либо а = b = 2, либо а = b = -2.

Проверим, действительно ли при найденных значениях а и b система имеет единственное решение.

Если а = b = 2, то из первого уравнения находим

xyz = 2 - z.

Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно z:

z^2 - 3z + 2 = 0,

корни которого z₁ = 1, z₂ = 2.

При z = 1 получим систему

которая, как легко проверить, имеет четыре решения.

Таким образом, значения параметров а = b = 2 не удовлетворяют условию задачи.

Если а = b = -2, то из первого уравнения найдем

xyz = -2 - z.

Подставляем во второе:

z^2 + z– 2 = 0,

откуда z₁ = -2, z₂ = 1.

При z = -2 приходим к системе

имеющей единственное решение x = y = 0. При z = 1 получаем систему