Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

Подставляем во второе уравнение y = -3/x и убеждаемся, что уравнение x4– 3x^2 + 9 = 0, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.

Ответ. a = b = -2.

9.31. По условию y = -x. Данные уравнения примут вид

Если а /= -1, то, найдя x^3

из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения

1/2 (а + 1) = 1/2 - a, т. е. а^2 - а = 0,

откуда а = 0 или а = 1.

Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра а:

– 1, 0, 1,

которые нужно проверить.

Если а = -1, то из первого уравнения найдем y = -x, а из второго уравнения найдем x^3 = 1/3 и

, а следовательно,

Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию x + y = 0.

Если а = 0, то из первого уравнения:

а из второго:

Это значит, что при а = 0 система имеет два решения:

По условию любое решение должно удовлетворять требованию x + y = 0, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.

Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему

Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = -1. (Докажите.)

Ответ. ±1.

9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему

Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

При а = 0 получаем систему

Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.

Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид

При любом b эта система имеет решение x = y = 0.

Ответ. 1.

9.33.

Пусть (х1, у1) — решение системы. Тогда второе уравнение удовлетворяется еще тремя парами значений неизвестных (-x1, y1), (x1, -y1), (-x1, -y1). Легко убедиться, что первое уравнение наряду с (x1, y1) имеет также решение (x1, -y1):

Таким образом, система может иметь единственное решение лишь при условии, что y1 = -y1, т. е. y = 0. Подставим это значение y в систему. Из первого уравнения получим а = 0.

Выясним, достаточно ли условия а = 0 для единственности решения исходной системы. Если а = 0, то xy = 1, а это означает, что либо x = 1, y — любое число, либо x /= 0 — любое, y = 0. Значения параметра b должны быть такими, чтобы второму уравнению системы удовлетворяло только одно из решений первого. Если y = 0, то второе уравнение имеет единственное решение x = b (по условию x > 0) при любом b > 0. Поэтому b нужно выбрать таким, чтобы исключить случай x = 1, т. е. таким, чтобы уравнение 1 + y^2 = b не имело действительных решений. Для этого необходимо и достаточно выполнение ограничения b < 1.

Если x = 1, то второе уравнение имеет единственное решение в том и только в том случае, если b = 1. При этом ему удовлетворяет единственное из решений первого уравнения: x = 1, y = 0.

Ответ. а = 0, 0 < b <= 1.

9.34. Умножим числитель и знаменатель дроби из второго уравнения на