Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

10.13. Перепишем данные уравнения в виде откуда

yz = 8 - x(5 - x).

Числа y и z будут корнями уравнения

u^2 - (5 - x)u + x^2 - 5х + 8 = 0.

Так как y и z должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать

отрицательным ни при каких значениях x:

(5 - x)^2 - 4(х^2 - 5х + 8) >= 0, т. е.
– 3x^2 + 10x– 7 >= 0,

откуда

1 <= x <= ⁷/₃.

Так как уравнения, которым удовлетворяют x, y и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим для y и z:

1 <= y <= ⁷/₃, 1 <= z <= ⁷/₃,

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 - 4а. Если а < 1/4 , то дискриминант положителен и уравнение ax^2 + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а > 0, т. е. 0 < а < 1/4 , то получим решения неравенства:

x < x₁, x > x₂.

Когда а < 0, то легко проверить, что x₂ < x₁. Поэтому решения запишутся в виде

x₂ < x < x₁.

Дискриминант отрицателен, когда а > 1/4 , а следовательно, а > 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а = 1/4 , то решения неравенства запишутся в виде x /= -2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 < x < 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

^{– 7 - 35}/₂ <= m <= ^{– 7 + 35}/₂,

а решая второе, получим

– 4 - 23 <= m <= -4 + 23.

Ответ.– 1/2 (7 + 35) <= m <= -4 + 23.

10.16. Пусть x₁ и x₂ — корни данного трехчлена. Тогда

Если

корни x₁ и x₂ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а > 0, а следовательно, корни x₁ и x₂ меньше а. Если а = 0, то один из корней равен -1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При а < 0 дискриминант 1 - 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.

Это неравенство эквивалентно такому:

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а < 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ. а < -2.

10.17. Так как k /= 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от -1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k^2 - k– 2)(k^3 + k– 2) < 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим

(k– 2)(k + 1)(k + 2)(k– 1) < 0.

Ответ.– 2 < k < -1; 1 < k < 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m > 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m > 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m < -⁴/₃, m > 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m > 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид -4x + 1 > 0, т. е. x < 1/4 , и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ. m > 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

<