Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни x и

 здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение x

 на

 мы могли нарушить равносильность.) После второго

возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 <= x < ⁸⁴¹/₁₄₄.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем -|а| <= x <= |а|.

Так как в первой системе x > 0, то для нее получим решения:

0 < x <= |а|, а /= 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

– ^|а|/₅ < x < ^|а|/₅.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала -^|а|/₅ < x <= 0 при а /= 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а /= 0: -^|а|/₅ < x <= |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2^x 2^x:

2^{x – x} <= 3 + 4 · 2^{x– x};

обозначив 2^{x – x} = y, получим

y <= 3 + ⁴/_y,

а так как y > 0, то

y^2 - 3y - 4 <= 0.

Корни трехчлена: -1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2^{x – x} <= 4,

т. е. x– x <= 2. Обозначим x = z и найдем решения неравенства

z^2 - z– 2 <= 0.

Получим -1 <= z <= 2. Левое неравенство выполняется, если только x существует. Остается x <= 2, т. е. 0 <= x <= 4.

Ответ. 0 <= x <= 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3^x(3 + x– 2x^2) - 2(-2x^2 + x + 3) < 0,

или

(3^x– 2)(-2x^2 + x + 3) < 0.

Последнее неравенство [20]

равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как -1 < 

<

= 1 < ³/₂, то окончательно получим x > ³/₂.

20

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3^x– 2)(x + 1)(x– ³/₂) >0.

Первый множитель обращается в нуль при  причем он больше нуля при  и меньше нуля при  Нанесем точки -1,  и ³/₂ на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > ³/₂ все три скобки положительны. Так как, кроме того, x >= 0, окончательно получим

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x > 0, то неравенство равносильно такому:

^{(x– 1)2x– 1}/_{3 - x} < 0, т. е. ^{(x– 1)(x– 1/2 )}/_{x– 3} > 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим 1/2 < x < 1, x > 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0^{– 1/3} , которое не имеет смысла.

При x < 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. ^{2x– 1}/_{3 - x}, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = -2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = ^{3n + 1}/_{2 + n}.

Из условия x < 0 находим x = ^{3n + 1}/_{2 + n} < 0 и, следовательно, -2 < n < - 1/3 . Единственное целое число в этом интервале n = -1, а соответствующее ему значение неизвестного x = -2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (-2)^{– 1} < 1.

Ответ. x = -2, 1/2 < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x^2 + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)^2 > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = -³/₂. При x = -³/₂ основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x /= -³/₂, то оно равносильно неравенству